Bir dörtgenin kenar uzunlukları $a, b, c, d$ ve köşegen uzunlukları $e, f$ olsun. Bu dörtgenin bir köşesindeki açısı $120^\circ$ olan bir üçgenin kenarları $5$ cm ve $7$ cm'dir. Bu üçgenin üçüncü kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
A) $\sqrt{109}$
B) $\sqrt{111}$
C) $10$
D) $11$
E) $12$
Bu problemde, bir üçgenin iki kenar uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açı verilmiştir. Üçüncü kenarın uzunluğunu bulmak için Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız.
- Verilen Bilgiler: Üçgenin iki kenar uzunluğu $a = 5$ cm ve $b = 7$ cm'dir. Bu iki kenar arasındaki açı $\theta = 120^\circ$'dir.
- İstenen: Üçgenin üçüncü kenarının uzunluğu ($c$).
- Kosinüs Teoremi: Bir üçgende, bir kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından, bu iki kenarın çarpımının iki katı ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımının çıkarılmasıyla bulunur. Formülü şu şekildedir: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\theta)$.
- Değerleri Formülde Yerine Koyma: Verilen kenar uzunluklarını ve açıyı Kosinüs Teoremi formülüne yerleştirelim:
$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos(120^\circ)$
- Kosinüs Değerini Hesaplama: $\cos(120^\circ)$ değeri, birim çemberde veya trigonometrik özdeşlikler kullanılarak bulunabilir.
$\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = - rac{1}{2}$
- Hesaplamaları Yapma: Şimdi bulduğumuz $\cos(120^\circ)$ değerini formülde yerine koyarak denklemi çözelim:
$c^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot (- rac{1}{2})$
$c^2 = 74 - (70 \cdot (- rac{1}{2}))$
$c^2 = 74 - (-35)$
$c^2 = 74 + 35$
$c^2 = 109$
- Üçüncü Kenarın Uzunluğunu Bulma: $c^2 = 109$ olduğundan, üçüncü kenarın uzunluğu $c = \sqrt{109}$ cm olarak bulunur.
Bu durumda, üçgenin üçüncü kenarının uzunluğu $\sqrt{109}$ cm'dir.
Cevap A seçeneğidir.
