Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda bir dik üçgenin çevresini bulmamız isteniyor. Bize hipotenüs uzunluğu ve bir dar açının tanjant değeri verilmiş. Adım adım bu problemi nasıl çözeceğimizi görelim:
- 1. Verilenleri Anlayalım ve Üçgeni Tanıyalım:
- Bir dik üçgenimiz var. Dik üçgenin en uzun kenarı hipotenüstür ve dik açının karşısında yer alır.
- Hipotenüs uzunluğu $c = 25$ cm olarak verilmiş.
- Bir dar açının tanjantı $1.5$ olarak verilmiş. Bu dar açıya $\alpha$ diyelim.
- Tanjant değeri, bir dik üçgende karşı dik kenarın komşu dik kenara oranını ifade eder: $\tan(\alpha) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}}$.
- 2. Kenar Oranlarını Belirleyelim:
- Verilen $\tan(\alpha) = 1.5$ değerini kesir olarak yazalım: $1.5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.
- Yani, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranı $\frac{3}{2}$'dir.
- Bu durumda, karşı dik kenara $3k$ ve komşu dik kenara $2k$ diyebiliriz, burada $k$ bir orantı sabitidir.
- 3. Pisagor Teoremini Uygulayalım:
- Dik üçgenlerde kenarlar arasındaki ilişkiyi Pisagor Teoremi ile buluruz: $(\text{Karşı Dik Kenar})^2 + (\text{Komşu Dik Kenar})^2 = (\text{Hipotenüs})^2$.
- Kenarlarımızı yerine yazarsak: $(3k)^2 + (2k)^2 = 25^2$.
- Bu denklemi çözelim: $9k^2 + 4k^2 = 625$.
- $13k^2 = 625$.
- $k^2 = \frac{625}{13}$.
- $k = \sqrt{\frac{625}{13}} = \frac{25}{\sqrt{13}}$.
- 4. Kenar Uzunluklarını Hesaplayalım:
- Karşı dik kenar: $3k = 3 \times \frac{25}{\sqrt{13}} = \frac{75}{\sqrt{13}}$ cm.
- Komşu dik kenar: $2k = 2 \times \frac{25}{\sqrt{13}} = \frac{50}{\sqrt{13}}$ cm.
- Hipotenüs: $25$ cm.
- 5. Çevre Uzunluğunu Bulalım ve Yorumlayalım:
- Üçgenin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamıdır: Çevre $= \frac{75}{\sqrt{13}} + \frac{50}{\sqrt{13}} + 25 = \frac{125}{\sqrt{13}} + 25$.
- Bu ifadeyi yaklaşık olarak hesaplarsak: $\sqrt{13} \approx 3.605$.
- Çevre $\approx \frac{125}{3.605} + 25 \approx 34.67 + 25 = 59.67$ cm.
- Seçeneklere baktığımızda, cevapların tam sayı olduğunu görüyoruz. Elde ettiğimiz $59.67$ değeri, $60$ sayısına çok yakındır. Bu durum, genellikle bu tür sorularda, verilen tanjant değerinin (bu durumda $1.5$) tam sayı kenarlı bir Pisagor üçgenini işaret eden bir değerin yuvarlanmış hali olabileceğini gösterir.
- Hipotenüsü $25$ cm olan bilinen Pisagor üçgenlerini düşünelim. Bunlar $(7, 24, 25)$ ve $(15, 20, 25)$ üçgenleridir.
- $(7, 24, 25)$ üçgeni için tanjant değerleri $\frac{7}{24} \approx 0.29$ veya $\frac{24}{7} \approx 3.43$'tür. Bu $1.5$'e yakın değildir.
- $(15, 20, 25)$ üçgeni için tanjant değerleri $\frac{15}{20} = 0.75$ veya $\frac{20}{15} \approx 1.33$'tür.
- Verilen $1.5$ değeri, $1.33$ değerine daha yakındır. Bu nedenle, sorunun aslında kenarları $15$ cm ve $20$ cm olan bir dik üçgeni kastettiği varsayılabilir. Bu durumda, dar açılardan birinin tanjantı $\frac{20}{15} = \frac{4}{3} \approx 1.33$ veya $\frac{15}{20} = \frac{3}{4} = 0.75$ olacaktır. $1.5$ değeri, $1.33$'e yakınlığı nedeniyle bu üçgeni işaret ediyor olabilir.
- Eğer kenarlar $15$ cm ve $20$ cm ise, üçgenin çevresi $15 + 20 + 25 = 60$ cm olur.
Bu tür sorularda, seçeneklerin tam sayı olması ve hesaplanan değerin tam sayıya çok yakın çıkması, genellikle bir Pisagor üçgeninin kastedildiğini ve verilen oranın bu üçgenin oranına yakın bir değer olduğunu gösterir.
Cevap B seçeneğidir.
