Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, iki sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. EBOB, iki veya daha fazla sayıyı aynı anda bölen en büyük sayıdır. Bu kavram, matematikte birçok farklı alanda karşımıza çıkar ve oldukça kullanışlıdır.
Sorumuz: $24$ ve $36$ sayılarının en büyük ortak böleni (EBOB) kaçtır?
Bu soruyu çözmek için iki farklı yöntem kullanabiliriz. İki yöntemi de açıklayalım:
- Yöntem 1: Bölenleri Listeleyerek Bulma
- Bu yöntemde, her bir sayının tüm bölenlerini (yani o sayıyı kalansız bölen sayıları) listeleriz. Daha sonra bu listelerdeki ortak bölenleri belirleriz ve aralarından en büyüğünü seçeriz.
- Öncelikle $24$ sayısının bölenlerini bulalım: $24$ sayısını kalansız bölen sayılar şunlardır: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$.
- Şimdi de $36$ sayısının bölenlerini bulalım: $36$ sayısını kalansız bölen sayılar şunlardır: $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$.
- Her iki sayının bölen listelerini karşılaştıralım ve ortak olanları işaretleyelim:
- $24$'ün bölenleri: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$
- $36$'nın bölenleri: $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$
- Ortak bölenler şunlardır: $1, 2, 3, 4, 6, 12$.
- Bu ortak bölenler arasında en büyük olan sayı $12$'dir.
- Dolayısıyla, $24$ ve $36$ sayılarının EBOB'u $12$'dir.
- Yöntem 2: Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi
- Bu yöntem, özellikle büyük sayılar için daha hızlı ve pratiktir. Her iki sayıyı da asal çarpanlarına ayırırız. Daha sonra, her iki sayıda da ortak olan asal çarpanları, üslerinin en küçüğünü alarak çarparız.
- Öncelikle $24$ sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
- $24 \div 2 = 12$
- $12 \div 2 = 6$
- $6 \div 2 = 3$
- $3 \div 3 = 1$
- Yani, $24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3^1$.
- Şimdi de $36$ sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
- $36 \div 2 = 18$
- $18 \div 2 = 9$
- $9 \div 3 = 3$
- $3 \div 3 = 1$
- Yani, $36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2$.
- Şimdi her iki sayının asal çarpanlarını karşılaştıralım ve ortak olan asal çarpanları en küçük üsleriyle birlikte alalım:
- Ortak asal çarpan $2$'dir. $24$'te $2^3$ ve $36$'da $2^2$ vardır. En küçük üs $2^2$'dir.
- Ortak asal çarpan $3$'tür. $24$'te $3^1$ ve $36$'da $3^2$ vardır. En küçük üs $3^1$'dir.
- Bu ortak asal çarpanları en küçük üsleriyle çarpalım:
- EBOB($24, 36$) $= 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12$.
- Gördüğünüz gibi, her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık: EBOB $12$'dir.
Bu durumda, doğru cevap C seçeneğidir.
