10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 5. senaryo Test 2

Bir $N$ doğal sayısı 6 ile bölündüğünde kalan 5, 8 ile bölündüğünde kalan 7'dir. Buna göre, $N$ sayısının 24 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 11
B) 13
C) 17
D) 23
E) 25

Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim:

• Adım 1: Verilenleri Anlama

Soruda bize $N$ doğal sayısının 6 ile bölümünden kalanın 5, 8 ile bölümünden kalanın ise 7 olduğu söyleniyor. Bu bilgiyi matematiksel olarak ifade edelim:

• $N \equiv 5 \pmod{6}$
• $N \equiv 7 \pmod{8}$

Bu ifadeler, $N$'nin 6'ya bölümünden kalanın 5 ve 8'e bölümünden kalanın 7 olduğunu gösterir.

• Adım 2: Ortak Bir İfade Bulma

Her iki denklemde de kalanın, bölen sayıdan 1 eksik olduğuna dikkat edelim. Yani:

• $N = 6k + 5 = 6k + 6 - 1 = 6(k+1) - 1$
• $N = 8m + 7 = 8m + 8 - 1 = 8(m+1) - 1$

Buradan $N+1$ sayısının hem 6'nın hem de 8'in katı olduğu sonucunu çıkarabiliriz. Yani $N+1$, 6 ve 8'in ortak katıdır.

• Adım 3: En Küçük Ortak Katı (EKOK) Bulma

6 ve 8'in en küçük ortak katını (EKOK) bulalım. $EKOK(6, 8) = 24$'tür.

Bu, $N+1$ sayısının 24'ün katı olduğu anlamına gelir. Yani $N+1 = 24t$ şeklinde yazabiliriz, burada $t$ bir tam sayıdır.

• Adım 4: N'yi İfade Etme

$N+1 = 24t$ ise, $N = 24t - 1$ olur. Ancak, kalanın pozitif olması gerektiğinden, ifadeyi şu şekilde düzenleyebiliriz: $N = 24t - 1 = 24t - 24 + 23 = 24(t-1) + 23$.

• Adım 5: Kalanı Bulma

$N = 24(t-1) + 23$ ifadesi, $N$'nin 24 ile bölümünden kalanın 23 olduğunu gösterir.

Bu nedenle, $N$ sayısının 24 ile bölümünden kalan 23'tür.

Cevap D seçeneğidir.