Aşağıdaki bağıntılardan hangisi bir fonksiyon belirtir?
A) $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2 + 1 $
B) $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x^2 + y^2 = 4 $
C) $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{1}{x-2} $
D) $ f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}, f(x) = \sqrt{x-3} $
E) $ f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, f(x) = \frac{x}{2} $
Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için iki temel şartı sağlaması gerekir:
- Tanımlılık (Her elemanın eşleşmesi): Tanım kümesindeki her elemanın görüntü kümesinde bir karşılığı olmalıdır. Yani, tanım kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır.
- Tek Değerlilik (Tek bir karşılık): Tanım kümesindeki her elemanın görüntü kümesinde yalnızca bir tane karşılığı olmalıdır. Yani, bir eleman aynı anda birden fazla farklı elemanla eşleşemez.
Şimdi seçenekleri bu şartlara göre inceleyelim:
- A) $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2 + 1 $
- Tanımlılık: Tanım kümesi $\mathbb{R}$ (gerçek sayılar) olduğu için, her $x \in \mathbb{R}$ için $x^2$ bir gerçek sayıdır ve $x^2+1$ de bir gerçek sayıdır. Dolayısıyla, tanım kümesindeki her elemanın bir karşılığı vardır.
- Tek Değerlilik: Her $x$ değeri için $x^2+1$ ifadesi tek bir sonuç verir. Örneğin, $f(2) = 2^2+1 = 5$ ve $f(-3) = (-3)^2+1 = 10$. Her giriş için tek bir çıkış değeri vardır.
- Bu bağıntı, bir fonksiyonun her iki şartını da sağlar.
- B) $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x^2 + y^2 = 4 $
- Bu bağıntıda $y$ değerini $x$ cinsinden ifade edersek $y^2 = 4 - x^2 \implies y = \pm \sqrt{4 - x^2}$ olur.
- Tanımlılık: $\sqrt{4-x^2}$ ifadesinin gerçek sayı olabilmesi için $4-x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 4 \implies -2 \le x \le 2$ olmalıdır. Ancak tanım kümesi $\mathbb{R}$ olarak verilmiştir. Örneğin, $x=3$ için $y = \pm \sqrt{4-3^2} = \pm \sqrt{-5}$ olur ki bu bir gerçek sayı değildir. Dolayısıyla, tanım kümesindeki her elemanın bir karşılığı yoktur.
- Tek Değerlilik: Ayrıca, $-2 < x < 2$ aralığındaki $x$ değerleri için $y$ hem pozitif hem de negatif iki farklı değer alır. Örneğin, $x=0$ için $y = \pm \sqrt{4-0} = \pm 2$ olur. Yani, $0$ elemanı hem $2$ hem de $-2$ ile eşleşir. Bu da tek değerlilik şartını ihlal eder.
- Bu bağıntı bir fonksiyon değildir.
- C) $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{1}{x-2} $
- Tanımlılık: Bir kesrin paydası sıfır olamaz. Yani $x-2 \ne 0 \implies x \ne 2$ olmalıdır. Ancak tanım kümesi $\mathbb{R}$ olarak verilmiştir. $x=2$ elemanı tanım kümesinde olmasına rağmen $f(2)$ tanımsızdır. Dolayısıyla, tanım kümesindeki her elemanın bir karşılığı yoktur.
- Bu bağıntı bir fonksiyon değildir.
- D) $ f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}, f(x) = \sqrt{x-3} $
- Tanım kümesi $\mathbb{N}$ (doğal sayılar, genellikle $\{1, 2, 3, ...\}$), görüntü kümesi $\mathbb{Z}$ (tam sayılar) olarak verilmiştir.
- Tanımlılık: $\sqrt{x-3}$ ifadesinin gerçek sayı olabilmesi için $x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$ olmalıdır. Ancak tanım kümesinde $x=1$ veya $x=2$ gibi elemanlar vardır. Örneğin, $f(1) = \sqrt{1-3} = \sqrt{-2}$ bir gerçek sayı değildir. Dolayısıyla, tanım kümesindeki her elemanın bir karşılığı yoktur.
- Bu bağıntı bir fonksiyon değildir.
- E) $ f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, f(x) = \frac{x}{2} $
- Tanım kümesi $\mathbb{Z}$ (tam sayılar), görüntü kümesi $\mathbb{Z}$ (tam sayılar) olarak verilmiştir.
- Tanımlılık: Her $x \in \mathbb{Z}$ için $\frac{x}{2}$ ifadesi tanımlıdır ve tek bir değer verir.
- Görüntü Kümesi Şartı: Ancak, fonksiyonun görüntü kümesi $\mathbb{Z}$ olarak belirtilmiştir. Bu durumda, tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü bir tam sayı olmalıdır. Örneğin, $x=1$ için $f(1) = \frac{1}{2}$ bir tam sayı değildir. $x=3$ için $f(3) = \frac{3}{2}$ bir tam sayı değildir. Dolayısıyla, tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü, belirtilen görüntü kümesi $\mathbb{Z}$'nin içinde değildir.
- Bu bağıntı bir fonksiyon değildir.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, sadece A seçeneğindeki bağıntının bir fonksiyonun tüm şartlarını sağladığı görülmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
