12. sınıf matematik 1. dönem 1. yazılı 5. senaryo Test 1

Bir hareketlinin konum fonksiyonu $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ olarak verilmiştir. Bu hareketlinin hangi anda hızı sıfırdır?

A) Sadece $t = 1$
B) Sadece $t = 3$
C) $t = 1$ ve $t = 3$
D) Herhangi bir $t$ değeri için sıfır değildir.
E) $t = 0$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir hareketlinin konum fonksiyonu verilmiş ve bizden hareketlinin hızının hangi anlarda sıfır olduğunu bulmamız isteniyor. Bu tür problemleri çözmek için türev kavramını kullanmamız gerekir. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Konum Fonksiyonunu Anlayalım:

  Bize verilen konum fonksiyonu $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ şeklindedir. Burada $s(t)$, hareketlinin $t$ anındaki konumunu ifade eder.

• 2. Hız Fonksiyonunu Bulalım:

  Bir hareketlinin hız fonksiyonu, konum fonksiyonunun zamana göre birinci türevi alınarak bulunur. Yani, $v(t) = s'(t)$'dir.

  Şimdi $s(t)$ fonksiyonunun türevini alalım:

  $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$

  $v(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 6t^2 + 9t)$

  Türev kurallarını uygulayarak her terimin türevini alalım:

  • $t^3$'ün türevi $3t^2$'dir.
  • $-6t^2$'nin türevi $-6 \cdot 2t = -12t$'dir.
  • $9t$'nin türevi $9$'dur.

  Böylece hız fonksiyonunu elde ederiz:

  $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$

• 3. Hızın Sıfır Olduğu Anları Bulalım:

  Soruda bizden hızın sıfır olduğu anlar isteniyor. Bu durumda, bulduğumuz hız fonksiyonunu sıfıra eşitlememiz gerekir:

  $v(t) = 0$

  $3t^2 - 12t + 9 = 0$

• 4. Denklemi Çözelim:

  Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Denklemi çözmek için önce tüm terimleri 3'e bölebiliriz, bu işlemi kolaylaştıracaktır:

  $\frac{3t^2}{3} - \frac{12t}{3} + \frac{9}{3} = \frac{0}{3}$

  $t^2 - 4t + 3 = 0$

  Şimdi bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz. Çarpımları $3$ ve toplamları $-4$ olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar $-1$ ve $-3$'tür.

  $(t - 1)(t - 3) = 0$

  Bu denklemin çözümleri şunlardır:

  • $t - 1 = 0 \implies t = 1$
  • $t - 3 = 0 \implies t = 3$

  Yani, hareketlinin hızı $t = 1$ saniyesinde ve $t = 3$ saniyesinde sıfır olmaktadır.

• 5. Seçeneklerle Karşılaştıralım:

  Bulduğumuz sonuçlar $t = 1$ ve $t = 3$ değerleridir. Bu da seçenek C ile uyuşmaktadır.

Cevap C seçeneğidir.