Merhaba sevgili öğrenciler!
Bir eşkenar üçgenin alanını bulmak için iki farklı yol izleyebiliriz: Ya üçgenin yüksekliğini bulup genel alan formülünü kullanırız ya da eşkenar üçgenin alan formülünü doğrudan uygularız. İki yöntemi de adım adım inceleyelim.
- Adım 1: Eşkenar Üçgenin Özelliklerini Hatırlayalım
- Bir eşkenar üçgenin tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir ve tüm iç açıları $60^\circ$'dir. Sorumuzda bir kenar uzunluğu $4$ cm olarak verilmiştir.
- Adım 2: Yüksekliği Bulalım (Genel Alan Formülü İçin)
- Bir eşkenar üçgende, bir köşeden karşı kenara indirilen dikme (yükseklik), hem o kenarı iki eşit parçaya böler hem de köşedeki açıyı iki eşit parçaya böler.
- Yüksekliği indirdiğimizde, üçgeni iki adet $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ özel dik üçgenine ayırmış oluruz.
- Bu dik üçgenlerden birini ele alalım:
- Hipotenüs (eşkenar üçgenin kenarı) $4$ cm'dir.
- $30^\circ$'nin karşısındaki kenar (tabanın yarısı) $4/2 = 2$ cm'dir.
- $60^\circ$'nin karşısındaki kenar ise yüksekliğimizdir ($h$).
- $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ üçgen özelliklerine göre, $30^\circ$'nin karşısındaki kenar $x$ ise, $60^\circ$'nin karşısındaki kenar $x\sqrt{3}$ ve $90^\circ$'nin karşısındaki kenar $2x$'tir.
- Burada $x = 2$ cm olduğundan, yüksekliğimiz $h = 2\sqrt{3}$ cm olur.
- (Alternatif olarak Pisagor Teoremi ile: $h^2 + 2^2 = 4^2 \Rightarrow h^2 + 4 = 16 \Rightarrow h^2 = 12 \Rightarrow h = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ cm.)
- Adım 3: Alanı Hesaplayalım (Genel Alan Formülü ile)
- Bir üçgenin alanı genel olarak $\text{Alan} = \frac{\text{taban} \times \text{yükseklik}}{2}$ formülüyle bulunur.
- Eşkenar üçgenimizin tabanı $4$ cm ve yüksekliği $2\sqrt{3}$ cm'dir.
- $\text{Alan} = \frac{4 \times 2\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ cm$^2$.
- Adım 4: Eşkenar Üçgenin Alan Formülünü Kullanarak Kontrol Edelim
- Bir eşkenar üçgenin alanını doğrudan hesaplamak için özel bir formül vardır: $\text{Alan} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, burada $a$ kenar uzunluğudur.
- Kenar uzunluğumuz $a = 4$ cm olduğuna göre, formülü uygulayalım:
- $\text{Alan} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ cm$^2$.
- Her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık.
Cevap B seçeneğidir.
