bir doğru parçasını belli oranda bölen noktanın koordinatları Test 1

A(-1, 4) ve B(5, -2) noktaları veriliyor. AB doğru parçasını içten 2:1 oranında bölen C noktasının apsisi kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4

Sevgili öğrenciler, bu tür sorular koordinat düzleminde doğru parçalarını belirli bir oranda bölen noktaların koordinatlarını bulma üzerine kuruludur. Bu problemi çözmek için doğru parçasını içten bölen bir noktanın koordinatları formülünü kullanacağız. Haydi adım adım ilerleyelim!

• 1. Verilenleri Belirleyelim:

  Bize $A(-1, 4)$ ve $B(5, -2)$ noktaları verilmiş. Bu noktaları $(x_1, y_1)$ ve $(x_2, y_2)$ olarak adlandıralım:

  • $x_1 = -1$
  • $y_1 = 4$
  • $x_2 = 5$
  • $y_2 = -2$

  AB doğru parçasını içten $2:1$ oranında bölen C noktasını arıyoruz. Bu oran $m:n$ olarak ifade edilir, yani $m=2$ ve $n=1$ diyebiliriz.

• 2. İçten Bölme Formülünü Hatırlayalım:

  Bir $C(x, y)$ noktası, $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ noktalarını birleştiren doğru parçasını içten $m:n$ oranında bölüyorsa, C noktasının koordinatları şu formüllerle bulunur:

  • Apsis (x-koordinatı): $x = \frac{n \cdot x_1 + m \cdot x_2}{m+n}$
  • Ordinat (y-koordinatı): $y = \frac{n \cdot y_1 + m \cdot y_2}{m+n}$

  Soru bizden sadece C noktasının apsisini (x-koordinatını) istediği için sadece apsis formülünü kullanmamız yeterlidir.

• 3. Değerleri Formülde Yerine Koyalım:

  Apsis formülümüz $x = \frac{n \cdot x_1 + m \cdot x_2}{m+n}$ idi. Şimdi elimizdeki değerleri bu formüle yerleştirelim:

  • $x_1 = -1$
  • $x_2 = 5$
  • $m = 2$
  • $n = 1$

  Bu değerleri formüle yazdığımızda:

  $x = \frac{1 \cdot (-1) + 2 \cdot 5}{2+1}$

• 4. Hesaplamayı Yapalım:

  Şimdi denklemi adım adım çözelim:

  • Pay kısmını hesaplayalım: $1 \cdot (-1) = -1$ ve $2 \cdot 5 = 10$. Yani pay kısmı $-1 + 10 = 9$ olur.
  • Payda kısmını hesaplayalım: $2 + 1 = 3$.
  • Şimdi apsis değerini bulalım: $x = \frac{9}{3}$
  • $x = 3$

  Böylece C noktasının apsisini $3$ olarak bulmuş oluruz.

Cevap C seçeneğidir.