9. Sınıf Tales Teoremi Nedir? Test 1

Bir aydınlatma direğinin gölgesi, zemine paralel olarak yerleştirilmiş 2 metre yüksekliğindeki bir engelin üzerine düşmektedir. Engelin gölgesi 3 metre, aydınlatma direğinin gölgesi ise toplam 12 metre uzunluğundadır. Buna göre aydınlatma direğinin yüksekliği kaç metredir?

A) 6
B) 7
C) 8
D) 9

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu problem, benzer üçgenler konusunu anlamamız için harika bir fırsat sunuyor. Adım adım ilerleyerek bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

• Adım 1: Problemi Anlayalım ve Görselleştirelim.

  Öncelikle soruyu dikkatlice okuyalım ve zihnimizde bir resim canlandıralım. Bir aydınlatma direği ve onun önünde bir engel var. Her ikisi de gölge oluşturuyor. Güneş ışınları paralel olduğu için, aynı anda farklı yükseklikteki cisimlerin oluşturduğu gölgelerle birlikte oluşan üçgenler birbirine benzer olacaktır.

  • Aydınlatma direğinin yüksekliğini bulmamız isteniyor. Buna $H$ diyelim.
  • Aydınlatma direğinin toplam gölge uzunluğu $12$ metredir.
  • Engelin yüksekliği $2$ metredir.
  • Engelin gölgesi $3$ metredir. Bu, engelin kendisinin oluşturduğu gölge uzunluğudur ve direğin toplam gölgesinin son $3$ metrelik kısmını oluşturur. Yani, direğin gölgesinin bittiği nokta ile engelin gölgesinin bittiği nokta aynıdır.

  Bu durumu bir çizimle hayal edebiliriz: Direk, engel ve gölgelerin uç noktası aynı doğrultuda. Direğin tepesinden gölgenin ucuna ve engelin tepesinden gölgenin ucuna çizilen hayali çizgiler (güneş ışınları) paraleldir ve yerle aynı açıyı yapar.

• Adım 2: Benzer Üçgenleri Belirleyelim.

  Bu senaryoda iki adet dik üçgen oluşur ve bu üçgenler birbirine benzerdir:

  • Büyük Üçgen: Aydınlatma direği ve onun toplam gölgesi.
    • Yükseklik: Direğin yüksekliği ($H$)
    • Taban: Direğin toplam gölge uzunluğu ($12$ metre)
  • Küçük Üçgen: Engel ve onun gölgesi.
    • Yükseklik: Engelin yüksekliği ($2$ metre)
    • Taban: Engelin gölge uzunluğu ($3$ metre)

  Bu iki üçgenin benzer olmasının temel nedeni, güneşin geliş açısının (gölge açısının) hem direk hem de engel için aynı olmasıdır. Yani, üçgenlerin tabanları ile hipotenüsleri arasındaki açılar eşittir.

• Adım 3: Oran Kurarak Denklemi Oluşturalım.

  Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir. Bu kuralı kullanarak bir denklem oluşturalım:

  $\frac{\text{Büyük Üçgenin Yüksekliği}}{\text{Küçük Üçgenin Yüksekliği}} = \frac{\text{Büyük Üçgenin Tabanı}}{\text{Küçük Üçgenin Tabanı}}$

  Şimdi bildiğimiz değerleri bu orana yerleştirelim:

  $\frac{H}{2} = \frac{12}{3}$

• Adım 4: Denklemi Çözelim.

  Denklemimizi çözerek $H$ değerini bulalım:

  • Önce sağ taraftaki bölme işlemini yapalım: $12 \div 3 = 4$.
  • Denklemimiz şimdi şu hale geldi: $\frac{H}{2} = 4$.
  • $H$'yi yalnız bırakmak için denklemin her iki tarafını $2$ ile çarpalım: $H = 4 \times 2$.
  • Sonuç olarak: $H = 8$ metre.

  Yani, aydınlatma direğinin yüksekliği $8$ metredir.

Cevap C seçeneğidir.