Köşe koordinatları $P(-2, 1)$ ve $R(4, 5)$ olan bir karenin alanı kaç birimkaredir? ($PR$ bir köşegendir.)
A) 13Problemimizi çözmek için, verilen köşe koordinatlarını kullanarak köşegen uzunluğunu bulmalı ve ardından bu uzunluğu karenin alanını hesaplamak için kullanmalıyız.
Karenin köşegen koordinatları $P(-2, 1)$ ve $R(4, 5)$ olarak verilmiştir. İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak köşegen uzunluğunu ($d$) bulabiliriz. Uzaklık formülü $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ şeklindedir.
Burada $x_1 = -2$, $y_1 = 1$ ve $x_2 = 4$, $y_2 = 5$ değerlerini formülde yerine koyalım:
$d = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (5 - 1)^2}$
$d = \sqrt{(4 + 2)^2 + (4)^2}$
$d = \sqrt{(6)^2 + (4)^2}$
$d = \sqrt{36 + 16}$
$d = \sqrt{52}$ birim.
Bir karenin alanı, köşegen uzunluğu ($d$) bilindiğinde $A = \frac{d^2}{2}$ formülü ile hesaplanabilir. (Bu formül, karenin bir kenar uzunluğu $a$ ise, köşegen uzunluğu $d = a\sqrt{2}$ ve alan $A = a^2$ olduğundan türetilir: $d^2 = (a\sqrt{2})^2 = 2a^2 \Rightarrow a^2 = \frac{d^2}{2}$.)
Bulduğumuz köşegen uzunluğunu ($d = \sqrt{52}$) formülde yerine koyalım:
$A = \frac{(\sqrt{52})^2}{2}$
$A = \frac{52}{2}$
$A = 26$ birimkare.
Cevap B seçeneğidir.
