10. Sınıf Gerçek Sayılarda Tanımlı Karesel Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri Test 6

Bir mühendis, bir köprü tasarımında parabolik bir eğri kullanıyor. Eğrinin denklemi $f(x) = x^2 - (m+1)x + 9$ olarak modellenmiştir. Bu parabolün $x$-eksenine tam olarak bir noktada teğet olması (dokunması) için $m$ parametresinin alabileceği değerler toplamı kaçtır?

A) $-2$
B) $-1$
C) $0$
D) $1$
E) $2$

Merhaba sevgili öğrenciler, bu problemde bir parabolün $x$-eksenine teğet olma durumunu inceleyeceğiz. Bu tür problemler, parabollerin grafiksel özelliklerini ve ikinci dereceden denklemlerin kökleriyle ilişkisini anlamak için harika bir fırsattır.

• Adım 1: Problemi Anlama ve Temel Kavramları Belirleme

  Bize verilen parabolün denklemi $f(x) = x^2 - (m+1)x + 9$'dur. Bir parabolün $x$-eksenine tam olarak bir noktada teğet olması demek, parabolün $x$-eksenini sadece bir noktada kesmesi veya dokunması anlamına gelir. Matematiksel olarak bu durum, $f(x) = 0$ denkleminin sadece bir tane gerçek kökü olduğu anlamına gelir. İkinci dereceden bir denklemin tek bir gerçek kökü olması için diskriminantının sıfır olması gerekir.

• Adım 2: Parabolün x-eksenine Teğet Olma Şartını Uygulama

  Genel bir ikinci dereceden denklem $ax^2 + bx + c = 0$ şeklinde ise, bu denklemin diskriminantı $\Delta = b^2 - 4ac$ formülüyle hesaplanır. Eğer $\Delta = 0$ ise, denklemin birbirine eşit iki gerçek kökü vardır, yani tek bir kök vardır. Bu da parabolün $x$-eksenine teğet olduğu durumu ifade eder.

• Adım 3: Diskriminantı Hesaplama ve Sıfıra Eşitleme

  Verilen parabol denklemi $f(x) = x^2 - (m+1)x + 9$'u $ax^2 + bx + c = 0$ formatıyla karşılaştıralım:

  • $a = 1$
  • $b = -(m+1)$
  • $c = 9$

  Şimdi diskriminantı hesaplayıp sıfıra eşitleyelim:

  $\Delta = b^2 - 4ac = 0$

  $(-(m+1))^2 - 4(1)(9) = 0$

  $(m+1)^2 - 36 = 0$

• Adım 4: m Değerlerini Bulma

  Elde ettiğimiz denklemi $m$ için çözelim:

  $(m+1)^2 = 36$

  Her iki tarafın karekökünü alırsak, iki olası durum ortaya çıkar:

  $m+1 = \sqrt{36}$ veya $m+1 = -\sqrt{36}$

  $m+1 = 6$ veya $m+1 = -6$

  Birinci durumdan $m$ değerini bulalım:

  $m+1 = 6 \implies m = 6 - 1 \implies m = 5$

  İkinci durumdan $m$ değerini bulalım:

  $m+1 = -6 \implies m = -6 - 1 \implies m = -7$

  Böylece $m$ parametresinin alabileceği iki farklı değer bulduk: $5$ ve $-7$.

• Adım 5: m Değerlerinin Toplamını Hesaplama

  Soruda bizden $m$ parametresinin alabileceği değerler toplamı isteniyor. Bulduğumuz değerleri toplayalım:

  Toplam $= 5 + (-7) = 5 - 7 = -2$

Bu durumda, $m$ parametresinin alabileceği değerler toplamı $-2$'dir.

Cevap A seçeneğidir.