Alanı $36 \text{ cm}^2$ olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları birer doğal sayıdır. Buna göre, bu dikdörtgenin çevre uzunluğu aşağıdakilerden hangisi olamaz?
(Kenar uzunlukları $1 \text{ cm}$ ve $36 \text{ cm}$, $2 \text{ cm}$ ve $18 \text{ cm}$, $3 \text{ cm}$ ve $12 \text{ cm}$, $4 \text{ cm}$ ve $9 \text{ cm}$, $6 \text{ cm}$ ve $6 \text{ cm}$ olabilir.)
A) $24 \text{ cm}$
B) $26 \text{ cm}$
C) $30 \text{ cm}$
D) $40 \text{ cm}$
Bir dikdörtgenin alanı, kenar uzunluklarının çarpımıyla bulunur. Çevre uzunluğu ise tüm kenarlarının toplamının iki katıdır. Kenar uzunlukları $a$ ve $b$ olan bir dikdörtgen için:
- Alan: $A = a \times b$
- Çevre: $C = 2 \times (a + b)$
Soruda bize alanı $36 \text{ cm}^2$ olan bir dikdörtgenin kenar uzunluklarının birer doğal sayı olduğu ve olası kenar uzunlukları çiftleri verilmiş. Bu çiftleri kullanarak her bir durum için çevre uzunluğunu hesaplayalım:
- Kenar uzunlukları $1 \text{ cm}$ ve $36 \text{ cm}$ ise:
Çevre uzunluğu: $C_1 = 2 \times (1 + 36) = 2 \times 37 = 74 \text{ cm}$
- Kenar uzunlukları $2 \text{ cm}$ ve $18 \text{ cm}$ ise:
Çevre uzunluğu: $C_2 = 2 \times (2 + 18) = 2 \times 20 = 40 \text{ cm}$
- Kenar uzunlukları $3 \text{ cm}$ ve $12 \text{ cm}$ ise:
Çevre uzunluğu: $C_3 = 2 \times (3 + 12) = 2 \times 15 = 30 \text{ cm}$
- Kenar uzunlukları $4 \text{ cm}$ ve $9 \text{ cm}$ ise:
Çevre uzunluğu: $C_4 = 2 \times (4 + 9) = 2 \times 13 = 26 \text{ cm}$
- Kenar uzunlukları $6 \text{ cm}$ ve $6 \text{ cm}$ ise (bu bir karedir ve kare de özel bir dikdörtgendir):
Çevre uzunluğu: $C_5 = 2 \times (6 + 6) = 2 \times 12 = 24 \text{ cm}$
Bu hesaplamalara göre, alanı $36 \text{ cm}^2$ olan ve kenar uzunlukları doğal sayı olan bir dikdörtgenin çevre uzunlukları $74 \text{ cm}$, $40 \text{ cm}$, $30 \text{ cm}$, $26 \text{ cm}$ ve $24 \text{ cm}$ olabilir.
Şimdi seçeneklere bakalım ve bu değerlerden hangisinin yukarıdaki olası çevre uzunlukları listesinde yer almadığını bulalım:
- A) $24 \text{ cm}$ (Bu değer listede yer almaktadır.)
- B) $26 \text{ cm}$ (Bu değer listede yer almaktadır.)
- C) $30 \text{ cm}$ (Bu değer listede yer almaktadır.)
- D) $40 \text{ cm}$ (Bu değer listede yer almamaktadır.)
Bu durumda, $40 \text{ cm}$ çevre uzunluğu, alanı $36 \text{ cm}^2$ olan ve kenar uzunlukları doğal sayı olan bir dikdörtgenin çevre uzunluğu olamaz.
Cevap D seçeneğidir.
