Bu problemde, çevre uzunluğu verilen bir dikdörtgenin kenar uzunlukları doğal sayı olduğunda, alanının hangi değerleri alabileceğini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
Bir dikdörtgenin çevre uzunluğu, iki kısa kenar ile iki uzun kenarın toplamına eşittir. Yani, kısa kenara $a$ ve uzun kenara $b$ dersek, çevre formülü $2 \times (a + b)$ şeklindedir.
Soruda çevre uzunluğu $28 \text{ cm}$ olarak verilmiş. O halde:
$2 \times (a + b) = 28 \text{ cm}$
Eşitliğin her iki tarafını $2$'ye bölersek, kısa kenar ile uzun kenarın toplamını buluruz:
$a + b = \frac{28}{2} \text{ cm}$
$a + b = 14 \text{ cm}$
Bu, dikdörtgenin birbirine komşu iki kenarının (bir kısa, bir uzun) toplamının $14 \text{ cm}$ olduğu anlamına gelir.
Kenar uzunlukları birer doğal sayı olduğuna göre, toplamları $14$ olan tüm doğal sayı çiftlerini bulmalıyız. Soruda bu çiftler bize ipucu olarak verilmiş, bu da işimizi kolaylaştırıyor:
Olası kenar uzunlukları çiftleri şunlardır:
Kısa kenar $1 \text{ cm}$ ise, uzun kenar $13 \text{ cm}$ ($1 + 13 = 14$)
Kısa kenar $2 \text{ cm}$ ise, uzun kenar $12 \text{ cm}$ ($2 + 12 = 14$)
Kısa kenar $3 \text{ cm}$ ise, uzun kenar $11 \text{ cm}$ ($3 + 11 = 14$)
Kısa kenar $4 \text{ cm}$ ise, uzun kenar $10 \text{ cm}$ ($4 + 10 = 14$)
Kısa kenar $5 \text{ cm}$ ise, uzun kenar $9 \text{ cm}$ ($5 + 9 = 14$)
Kısa kenar $6 \text{ cm}$ ise, uzun kenar $8 \text{ cm}$ ($6 + 8 = 14$)
Kısa kenar $7 \text{ cm}$ ise, uzun kenar $7 \text{ cm}$ ($7 + 7 = 14$) (Bu özel durumda dikdörtgen bir karedir.)
Bir dikdörtgenin alanı, kısa kenar ile uzun kenarın çarpımına eşittir. Yani, $Alan = a \times b$ formülünü kullanacağız.
Hesaplamalarımız:
Kenarlar $1 \text{ cm}$ ve $13 \text{ cm}$ ise: Alan $= 1 \times 13 = 13 \text{ cm}^2$
Kenarlar $2 \text{ cm}$ ve $12 \text{ cm}$ ise: Alan $= 2 \times 12 = 24 \text{ cm}^2$
Kenarlar $3 \text{ cm}$ ve $11 \text{ cm}$ ise: Alan $= 3 \times 11 = 33 \text{ cm}^2$
Kenarlar $4 \text{ cm}$ ve $10 \text{ cm}$ ise: Alan $= 4 \times 10 = 40 \text{ cm}^2$
Kenarlar $5 \text{ cm}$ ve $9 \text{ cm}$ ise: Alan $= 5 \times 9 = 45 \text{ cm}^2$
Kenarlar $6 \text{ cm}$ ve $8 \text{ cm}$ ise: Alan $= 6 \times 8 = 48 \text{ cm}^2$
Kenarlar $7 \text{ cm}$ ve $7 \text{ cm}$ ise: Alan $= 7 \times 7 = 49 \text{ cm}^2$
Hesapladığımız olası alan değerleri şunlardır: $13 \text{ cm}^2$, $24 \text{ cm}^2$, $33 \text{ cm}^2$, $40 \text{ cm}^2$, $45 \text{ cm}^2$, $48 \text{ cm}^2$, $49 \text{ cm}^2$.
Şimdi bu değerleri sorudaki seçeneklerle karşılaştıralım:
A) $13 \text{ cm}^2$ (Bu, kenarları $1 \text{ cm}$ ve $13 \text{ cm}$ olan bir dikdörtgenin alanı olabilir.)
B) $24 \text{ cm}^2$ (Bu, kenarları $2 \text{ cm}$ ve $12 \text{ cm}$ olan bir dikdörtgenin alanı olabilir.)
C) $36 \text{ cm}^2$ (Bu değer, hesapladığımız olası alanlar arasında yoktur.)
D) $49 \text{ cm}^2$ (Bu, kenarları $7 \text{ cm}$ ve $7 \text{ cm}$ olan bir dikdörtgenin (karenin) alanı olabilir.)
Seçeneklere baktığımızda, $13 \text{ cm}^2$, $24 \text{ cm}^2$ ve $49 \text{ cm}^2$ değerleri bizim hesapladığımız olası alanlar arasındadır. Soruda "alanı aşağıdakilerden hangisi olabilir?" diye sorulduğu için, bu olası alanlardan biri doğru cevap olarak seçilmelidir. Seçenekler arasında $49 \text{ cm}^2$ değeri bulunmaktadır ve kenarları $7 \text{ cm}$ ve $7 \text{ cm}$ olan bir dikdörtgenin alanıdır.
Cevap D seçeneğidir.
