5. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 6. senaryo Test 3

Kenar uzunlukları doğal sayı olan bir dikdörtgenin alanı $40 \text{ cm}^2$ ise, bu dikdörtgenin çevre uzunluğu aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) $26 \text{ cm}$

B) $28 \text{ cm}$

C) $30 \text{ cm}$

D) $44 \text{ cm}$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, kenar uzunlukları doğal sayı olan bir dikdörtgenin alanının $40 \text{ cm}^2$ olduğu bilgisi verilmiş. Bizden istenen ise, bu dikdörtgenin çevre uzunluğunun aşağıdakilerden hangisi olamayacağını bulmak. Haydi bu problemi adım adım çözelim ve dikdörtgenlerin gizemli dünyasına bir göz atalım!

• 1. Adım: Dikdörtgenin Alan ve Çevre Formüllerini Hatırlayalım

  Bir dikdörtgenin kenar uzunlukları $a$ ve $b$ olsun. Soruda bu kenar uzunluklarının doğal sayı olduğu belirtilmiş, yani $a \in \mathbb{N}$ ve $b \in \mathbb{N}$ (pozitif tam sayılar).

  • Dikdörtgenin alanı: $A = a \times b$
  • Dikdörtgenin çevresi: $Ç = 2 \times (a + b)$

  Soruda alanın $40 \text{ cm}^2$ olduğu verilmiş, yani $a \times b = 40$.

• 2. Adım: Alanı $40 \text{ cm}^2$ Olan Dikdörtgenlerin Olası Kenar Uzunluklarını Bulalım

  Kenar uzunlukları doğal sayı olduğuna göre, $a$ ve $b$ sayıları $40$'ın çarpanları olmalıdır. Tüm olası $(a, b)$ doğal sayı çiftlerini bulalım (genellikle $a \le b$ kabul ederiz, çünkü $(a, b)$ ve $(b, a)$ aynı dikdörtgeni temsil eder ve çevreleri aynıdır):

  • Eğer $a = 1 \text{ cm}$ ise, $b = 40 \text{ cm}$ ($1 \times 40 = 40$)
  • Eğer $a = 2 \text{ cm}$ ise, $b = 20 \text{ cm}$ ($2 \times 20 = 40$)
  • Eğer $a = 4 \text{ cm}$ ise, $b = 10 \text{ cm}$ ($4 \times 10 = 40$)
  • Eğer $a = 5 \text{ cm}$ ise, $b = 8 \text{ cm}$ ($5 \times 8 = 40$)

  Başka doğal sayı çarpan çifti bulunmamaktadır.

• 3. Adım: Her Bir Olası Dikdörtgen İçin Çevre Uzunluğunu Hesaplayalım

  Şimdi bulduğumuz her bir kenar uzunluğu çifti için çevre uzunluğunu hesaplayalım:

  • Durum 1: $a = 1 \text{ cm}$, $b = 40 \text{ cm}$ Çevre $= 2 \times (1 + 40) = 2 \times 41 = 82 \text{ cm}$.
  • Durum 2: $a = 2 \text{ cm}$, $b = 20 \text{ cm}$ Çevre $= 2 \times (2 + 20) = 2 \times 22 = 44 \text{ cm}$.
  • Durum 3: $a = 4 \text{ cm}$, $b = 10 \text{ cm}$ Çevre $= 2 \times (4 + 10) = 2 \times 14 = 28 \text{ cm}$.
  • Durum 4: $a = 5 \text{ cm}$, $b = 8 \text{ cm}$ Çevre $= 2 \times (5 + 8) = 2 \times 13 = 26 \text{ cm}$.

  Yani, kenar uzunlukları doğal sayı olan ve alanı $40 \text{ cm}^2$ olan bir dikdörtgenin çevre uzunluğu $82 \text{ cm}$, $44 \text{ cm}$, $28 \text{ cm}$ veya $26 \text{ cm}$ olabilir.

• 4. Adım: Seçenekleri Kontrol Edelim

  Şimdi bulduğumuz olası çevre uzunluklarını seçeneklerle karşılaştıralım:

  • A) $26 \text{ cm}$ (Bu çevre uzunluğu mümkün, Durum 4'te bulduk.)
  • B) $28 \text{ cm}$ (Bu çevre uzunluğu mümkün, Durum 3'te bulduk.)
  • C) $30 \text{ cm}$ (Bu çevre uzunluğu, hesapladığımız olası çevre uzunlukları arasında yok.)
  • D) $44 \text{ cm}$ (Bu çevre uzunluğu mümkün, Durum 2'de bulduk.)

Gördüğümüz gibi, $30 \text{ cm}$ çevre uzunluğu, kenar uzunlukları doğal sayı olan ve alanı $40 \text{ cm}^2$ olan bir dikdörtgen için mümkün değildir.

Cevap C seçeneğidir.