Sevgili öğrenciler, bu soruda analitik düzlemde iki doğrunun çakışık olması durumunu inceleyeceğiz. İki doğru çakışık ise, aslında aynı doğruyu temsil ediyorlar demektir. Bu da onların tüm noktalarının birbiriyle örtüştüğü anlamına gelir.
- Çakışık Doğruların Şartı: Genel olarak, $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ ve $A_2x + B_2y + C_2 = 0$ şeklindeki iki doğrunun çakışık olması için, katsayıları arasında belirli bir oran olmalıdır. Bu oran şöyledir:
$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $
Yani, $x$'in katsayılarının oranı, $y$'nin katsayılarının oranı ve sabit terimlerin oranı birbirine eşit olmalıdır.
- Verilen Doğruların Katsayılarını Belirleme:
İlk doğru: $2x - 3y + 6 = 0$
Buradan $A_1 = 2$, $B_1 = -3$, $C_1 = 6$ olarak belirlenir.
İkinci doğru: $4x - 6y + k = 0$
Buradan $A_2 = 4$, $B_2 = -6$, $C_2 = k$ olarak belirlenir.
- Oranları Eşitleme: Şimdi çakışıklık şartını kullanarak bu katsayıları oranlayalım:
$ \frac{2}{4} = \frac{-3}{-6} = \frac{6}{k} $
- Oranları Sadeleştirme: İlk iki oranı sadeleştirelim:
$ \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $
$ \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2} $
Gördüğümüz gibi, $x$ ve $y$ katsayılarının oranları zaten birbirine eşit ve $ \frac{1}{2} $ değerini veriyor. Bu, doğruların paralel olduğunu gösterir. Çakışık olmaları için sabit terimlerin oranının da aynı olması gerekir.
- $k$ Değerini Bulma: Şimdi bu oranı sabit terimlerin oranıyla eşitleyelim:
$ \frac{1}{2} = \frac{6}{k} $
İçler dışlar çarpımı yaparak $k$ değerini bulabiliriz:
$ 1 \cdot k = 2 \cdot 6 $
$ k = 12 $
Bu durumda, $k$ değeri $12$ olduğunda iki doğru çakışık olacaktır.
Cevap D seçeneğidir.
