9. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 2. senaryo Test 1

Bir $ABC$ üçgeni, orijin etrafında $k=2$ oranıyla büyütülerek (homoteti) yeni bir $A'B'C'$ üçgeni elde edilmiştir. Bu işlemle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

A) $A'B'C'$ üçgeni ile $ABC$ üçgeni benzerdir.

B) $A'B'C'$ üçgeninin çevresi, $ABC$ üçgeninin çevresinin $2$ katıdır.

C) $A'B'C'$ üçgeninin alanı, $ABC$ üçgeninin alanının $4$ katıdır.

D) $|A'B'|$ kenarının uzunluğu, $|AB|$ kenarının uzunluğunun $2$ katıdır.

E) $ABC$ üçgeninin iç açıları ile $A'B'C'$ üçgeninin iç açıları farklıdır.

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir üçgenin homoteti (benzerlik dönüşümü) ile büyütülmesi durumunda ortaya çıkan özellikler hakkında bilgi sahibi olmamız gerekiyor. Homoteti, bir şekli belirli bir merkez noktası etrafında belirli bir oranla büyütme veya küçültme işlemidir. Bu işlemde şeklin genel formu korunur, sadece boyutu değişir.

Soruda verilen bilgilere göre, bir $ABC$ üçgeni, orijin etrafında $k=2$ oranıyla büyütülerek (homoteti) yeni bir $A'B'C'$ üçgeni elde edilmiştir. Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:

• A) $A'B'C'$ üçgeni ile $ABC$ üçgeni benzerdir.

  Homoteti, bir şeklin boyutunu değiştiren ancak şeklini ve açılarının ölçülerini koruyan bir dönüşümdür. Bu tür dönüşümler sonucunda elde edilen yeni şekil ile orijinal şekil her zaman benzerdir. Benzer üçgenlerin karşılıklı açıları eşit, karşılıklı kenar uzunlukları ise orantılıdır. Dolayısıyla bu ifade doğrudur.

• B) $A'B'C'$ üçgeninin çevresi, $ABC$ üçgeninin çevresinin $2$ katıdır.

  Homoteti oranı $k$ olduğunda, yeni şeklin kenar uzunlukları orijinal şeklin kenar uzunluklarının $k$ katı olur. Çevre, tüm kenar uzunluklarının toplamı olduğu için, her bir kenar $k$ katına çıktığında çevrenin tamamı da $k$ katına çıkar. Burada $k=2$ olduğu için, $A'B'C'$ üçgeninin çevresi, $ABC$ üçgeninin çevresinin $2$ katı olacaktır. Bu ifade doğrudur.

• C) $A'B'C'$ üçgeninin alanı, $ABC$ üçgeninin alanının $4$ katıdır.

  Homoteti oranı $k$ olduğunda, yeni şeklin alanı orijinal şeklin alanının $k^2$ katı olur. Burada $k=2$ olduğu için, alan $k^2 = 2^2 = 4$ katına çıkar. Yani, $A'B'C'$ üçgeninin alanı, $ABC$ üçgeninin alanının $4$ katıdır. Bu ifade doğrudur.

• D) $|A'B'|$ kenarının uzunluğu, $|AB|$ kenarının uzunluğunun $2$ katıdır.

  Homoteti oranı $k$ olduğunda, yeni şeklin her bir kenar uzunluğu, orijinal şeklin karşılık gelen kenar uzunluğunun $k$ katı olur. Burada $k=2$ olduğu için, $|A'B'|$ kenarının uzunluğu, $|AB|$ kenarının uzunluğunun $2$ katıdır. Bu ifade doğrudur.

• E) $ABC$ üçgeninin iç açıları ile $A'B'C'$ üçgeninin iç açıları farklıdır.

  Homoteti, bir şeklin boyutunu değiştiren ancak şeklin açılarının ölçülerini değiştirmeyen bir dönüşümdür. Benzer şekillerin karşılıklı açıları birbirine eşittir. Dolayısıyla, $ABC$ üçgeninin iç açıları ile $A'B'C'$ üçgeninin iç açıları aynıdır, farklı değildir. Bu ifade yanlıştır.

Yukarıdaki analizlere göre, yanlış olan ifade E seçeneğidir.

Cevap E seçeneğidir.