Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir fonksiyonun grafiğinin orijinden geçtiği bilgisi verilmiş ve bu fonksiyona uygulanan dönüşümler sonucunda oluşan yeni fonksiyonun grafiğinin hangi noktadan kesinlikle geçeceği sorulmuştur. Adım adım inceleyelim:
- Adım 1: Verilen Bilgiyi Anlayalım
- Soruda $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiğinin orijinden geçtiği belirtiliyor. Orijin, koordinat sisteminde $(0, 0)$ noktasıdır. Bir fonksiyonun grafiği bir noktadan geçiyorsa, o noktanın koordinatları fonksiyonun denklemini sağlar. Dolayısıyla, $f(x)$ fonksiyonu $(0, 0)$ noktasından geçtiği için, $x=0$ olduğunda $y=0$ olmalıdır. Yani, $f(0) = 0$ bilgisini elde ederiz. Bu bilgi, soruyu çözmek için anahtarımızdır.
- Adım 2: Yeni Fonksiyonu ve Dönüşümleri İnceleyelim
- Yeni fonksiyonumuz $g(x) = f(x-2)+3$ olarak verilmiş. Bu ifade, $f(x)$ fonksiyonuna uygulanan iki temel dönüşümü gösterir:
- $f(x-2)$: Bu ifade, $f(x)$ grafiğinin $x$-ekseni boyunca 2 birim sağa ötelenmesi anlamına gelir. Bir fonksiyonun içindeki $x$ yerine $(x-c)$ yazmak, grafiği $c$ birim sağa kaydırır.
- $+3$: Bu ifade, $f(x)$ grafiğinin (yatay ötelemeden sonra) $y$-ekseni boyunca 3 birim yukarı ötelenmesi anlamına gelir. Bir fonksiyona sabit bir sayı eklemek, grafiği o sayı kadar yukarı kaydırır.
- Adım 3: Dönüşümleri Bilinen Noktaya Uygulayalım
- Biz $f(x)$ fonksiyonunun $(0, 0)$ noktasından geçtiğini biliyoruz (yani $f(0)=0$). Şimdi bu noktayı $g(x)$ fonksiyonuna dönüştürelim:
- Yatay Öteleme: $f(x-2)$ dönüşümü, $x$-koordinatını 2 birim sağa kaydırır. $f(x)$'in geçtiği noktanın $x$-koordinatı $0$ idi. Bu durumda, yeni $x$-koordinatı $0+2 = 2$ olur.
- Dikey Öteleme: $+3$ dönüşümü, $y$-koordinatını 3 birim yukarı kaydırır. $f(x)$'in geçtiği noktanın $y$-koordinatı $0$ idi. Bu durumda, yeni $y$-koordinatı $0+3 = 3$ olur.
- Buna göre, $f(x)$'in geçtiği $(0, 0)$ noktası, $g(x)$ fonksiyonunda $(2, 3)$ noktasına dönüşür.
- Adım 4: Fonksiyon Tanımını Kullanarak Doğrulayalım
- Biz $f(0)=0$ olduğunu biliyoruz. $g(x) = f(x-2)+3$ fonksiyonunda, $f$ fonksiyonunun içindeki ifadenin $0$ olmasını sağlayacak $x$ değerini bulmalıyız.
- Bunun için $x-2 = 0$ denklemini çözeriz. Buradan $x=2$ bulunur.
- Şimdi $g(x)$ fonksiyonunda $x$ yerine $2$ yazalım:
- $g(2) = f(2-2)+3$
- $g(2) = f(0)+3$
- $f(0)=0$ olduğu için, bu değeri yerine koyarız:
- $g(2) = 0+3$
- $g(2) = 3$
- Bu sonuç bize, $x=2$ olduğunda $g(x)$'in değerinin $3$ olduğunu gösterir. Yani $g(x)$ fonksiyonunun grafiği kesinlikle $(2, 3)$ noktasından geçer.
Seçeneklere baktığımızda, bulduğumuz $(2, 3)$ noktası A seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
