11. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 4. senaryo meb Test 2

$x^2-6x+8 < 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $(2, 4)$

B) $(-\infty, 2) \cup (4, \infty)$

C) $[2, 4]$

D) $(-\infty, 2] \cup [4, \infty)$

E) $(-\infty, \infty)$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, bir ikinci dereceden eşitsizliği adım adım nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz. Eşitsizliğimiz $x^2-6x+8 < 0$. Hadi başlayalım!

• 1. Adım: Eşitsizliği Denkleme Dönüştürerek Kökleri Bulma

Öncelikle, eşitsizliğin sol tarafındaki ifadeyi sıfıra eşitleyerek denklemin köklerini bulmalıyız. Bu kökler, sayı doğrusunu işaret incelemesi yapacağımız aralıklara ayıracaktır.

$x^2-6x+8 = 0$

Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz. Çarpımları $8$ ve toplamları $-6$ olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar $-2$ ve $-4$'tür.

$(x-2)(x-4) = 0$

Buradan denklemin kökleri:

$x-2 = 0 \implies x_1 = 2$

$x-4 = 0 \implies x_2 = 4$

Bu kökler, eşitsizliğin işaret değiştirdiği kritik noktalardır.

• 2. Adım: İşaret Tablosu Oluşturma veya Aralıkları Test Etme

Bulduğumuz kökler ($x=2$ ve $x=4$) sayı doğrusunu üç aralığa ayırır: $(-\infty, 2)$, $(2, 4)$ ve $(4, \infty)$. Şimdi, $x^2-6x+8$ ifadesinin bu aralıklarda hangi işareti aldığını incelemeliyiz.

İşaret incelemesini kolaylaştırmak için, her aralıktan temsili bir değer seçip ifadeye yerleştirebiliriz:

• Aralık 1: $x < 2$ (Örneğin $x=0$ için)

$0^2 - 6(0) + 8 = 8$. Sonuç pozitif ($+$).

• Aralık 2: $2 < x < 4$ (Örneğin $x=3$ için)

$3^2 - 6(3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$. Sonuç negatif ($-$).

• Aralık 3: $x > 4$ (Örneğin $x=5$ için)

$5^2 - 6(5) + 8 = 25 - 30 + 8 = 3$. Sonuç pozitif ($+$).

Alternatif olarak, ikinci dereceden bir ifadenin işaretini kökler arasında ve köklerin dışında inceleyebiliriz. $x^2$ teriminin katsayısı ($1$) pozitif olduğu için, parabolün kolları yukarı doğrudur. Bu durumda, köklerin dışında ifade pozitif, kökler arasında ise negatiftir.

Yani:

• $x \in (-\infty, 2)$ için $x^2-6x+8 > 0$
• $x \in (2, 4)$ için $x^2-6x+8 < 0$
• $x \in (4, \infty)$ için $x^2-6x+8 > 0$
• 3. Adım: Çözüm Kümesini Belirleme

Bizim eşitsizliğimiz $x^2-6x+8 < 0$ şeklindeydi. Bu, ifadenin negatif olduğu aralığı bulmamız gerektiği anlamına gelir.

Yukarıdaki işaret incelemesine göre, ifadenin negatif olduğu aralık $(2, 4)$'tür.

Eşitsizlikte "küçüktür" ($<$) işareti olduğu için, kökler ($2$ ve $4$) çözüm kümesine dahil değildir. Bu yüzden aralık parantezleri yuvarlak () şeklindedir.

Bu adımları takip ettiğimizde, eşitsizliğin çözüm kümesinin $(2, 4)$ olduğunu buluruz.

Doğru cevap A seçeneğidir.