11. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 4. senaryo meb Test 2

Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir?

• $x^2-4x+3 < 0$


• $x^2-x-6 \ge 0$

A) $(-\infty, -2] \cup [3, \infty)$

B) $(-2, 1)$

C) $(1, 3)$

D) Hiçbiri

E) $\emptyset$

Bu eşitsizlik sistemini çözmek için, her bir eşitsizliği ayrı ayrı çözmeli ve ardından bulduğumuz çözüm kümelerinin kesişimini almalıyız.

• Birinci Eşitsizliğin Çözümü: $x^2-4x+3 < 0$
• Öncelikle $x^2-4x+3 = 0$ denkleminin köklerini bulalım. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırabiliriz: $(x-1)(x-3) = 0$.
• Denklemin kökleri $x_1 = 1$ ve $x_2 = 3$'tür.
• $x^2-4x+3$ parabolü yukarı doğru açılan bir paraboldür (baş katsayısı $1 > 0$ olduğu için).
• Parabolün değeri kökler arasında negatif, köklerin dışında pozitiftir.
• Eşitsizlik $x^2-4x+3 < 0$ olduğu için, çözüm kümesi kökler arasıdır: $1 < x < 3$.
• Bu çözüm kümesini aralık olarak $(1, 3)$ şeklinde ifade edebiliriz.
• İkinci Eşitsizliğin Çözümü: $x^2-x-6 \ge 0$
• Öncelikle $x^2-x-6 = 0$ denkleminin köklerini bulalım. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırabiliriz: $(x-3)(x+2) = 0$.
• Denklemin kökleri $x_1 = 3$ ve $x_2 = -2$'dir.
• $x^2-x-6$ parabolü yukarı doğru açılan bir paraboldür (baş katsayısı $1 > 0$ olduğu için).
• Parabolün değeri kökler arasında negatif, köklerin dışında pozitiftir.
• Eşitsizlik $x^2-x-6 \ge 0$ olduğu için, çözüm kümesi köklerin dışındaki bölgeler ve köklerin kendisidir: $x \le -2$ veya $x \ge 3$.
• Bu çözüm kümesini aralık olarak $(-\infty, -2] \cup [3, \infty)$ şeklinde ifade edebiliriz.
• Çözüm Kümelerinin Kesişimi:
• Birinci eşitsizliğin çözüm kümesi: $Ç_1 = (1, 3)$
• İkinci eşitsizliğin çözüm kümesi: $Ç_2 = (-\infty, -2] \cup [3, \infty)$
• Sisteminin çözüm kümesi, bu iki kümenin kesişimidir: $Ç = Ç_1 \cap Ç_2$.
• Sayı doğrusu üzerinde bu aralıkları görselleştirelim:
• $Ç_1$ aralığı $1$ ile $3$ arasındaki sayıları (dahil değil) içerir.
• $Ç_2$ aralığı $-2$'den küçük veya eşit olan sayıları ve $3$'ten büyük veya eşit olan sayıları içerir.
• $(1, 3)$ aralığı ile $(-\infty, -2]$ aralığının kesişimi yoktur, çünkü $(1, 3)$ aralığındaki en küçük sayı $1$'den büyükken, $(-\infty, -2]$ aralığındaki en büyük sayı $-2$'dir.
• $(1, 3)$ aralığı ile $[3, \infty)$ aralığının kesişimi yoktur, çünkü $(1, 3)$ aralığı $3$'ü içermezken, $[3, \infty)$ aralığı $3$'ten başlar.
• Dolayısıyla, her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan hiçbir $x$ değeri bulunmamaktadır.
• Bu durumda, eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi boş kümedir: $\emptyset$.

Cevap E seçeneğidir.