$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ olmak üzere, $y=f(x)$ fonksiyonunun grafiği orijinden geçmektedir.
Buna göre, $g(x) = f(x-2)+3$ fonksiyonunun grafiği aşağıdaki noktalardan hangisinden kesinlikle geçer?
A) $(2,3)$
B) $(3,2)$
C) $(-2,3)$
D) $(2,-3)$
E) $(0,0)$
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir fonksiyonun grafiği üzerindeki bir noktanın, fonksiyon üzerinde yapılan öteleme işlemleri sonucunda nereye taşınacağını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- Verilen Bilgiyi Anlayalım:
Soruda bize $y=f(x)$ fonksiyonunun grafiğinin orijinden geçtiği söyleniyor. Orijin noktası $(0,0)$ noktasıdır. Bir fonksiyonun grafiği bir noktadan geçiyorsa, o noktanın koordinatları fonksiyonun denklemini sağlar. Yani, $x=0$ iken $y=f(x)=0$ olmalıdır. Bu da bize $f(0)=0$ bilgisini verir. Bu bilgi, çözümümüzün anahtarı olacaktır.
- Yeni Fonksiyonu İnceleyelim:
Bize $g(x) = f(x-2)+3$ fonksiyonu verilmiş. Bu fonksiyon, $f(x)$ fonksiyonunun grafiğine uygulanan dönüşümleri temsil eder:
- $f(x-2)$ ifadesi, $f(x)$ fonksiyonunun grafiğini $x$-ekseni boyunca 2 birim sağa ötelemek anlamına gelir. Genel olarak, $f(x-a)$ fonksiyonu, $f(x)$'i $a$ birim sağa öter.
- $+3$ ifadesi ise, fonksiyonun değerine 3 eklemek demektir. Bu da $f(x)$ fonksiyonunun grafiğini $y$-ekseni boyunca 3 birim yukarı ötelemek anlamına gelir. Genel olarak, $f(x)+b$ fonksiyonu, $f(x)$'i $b$ birim yukarı öter.
- Orijin Noktasını Dönüştürelim:
Şimdi, $f(x)$ fonksiyonu üzerindeki bildiğimiz $(0,0)$ noktasını, $g(x)$ fonksiyonuna uygulanan dönüşümlerle nasıl değiştiğini bulalım:
- Başlangıç noktamız $f(x)$ üzerinde $(0,0)$ noktasıdır. Yani $f(0)=0$.
- Önce yatay ötelemeyi uygulayalım: $f(x-2)$. Biz $f(0)$ değerini biliyoruz. $f(x-2)$ ifadesinde parantez içindeki ifadenin 0 olmasını istiyoruz ki $f(0)$ değerini kullanabilelim. Bunun için $x-2=0$ olmalıdır, yani $x=2$ olmalıdır. Bu durumda, $f(x-2)$ ifadesi $f(2-2)=f(0)$ olur. $f(0)$ değeri 0 olduğundan, $x=2$ iken $f(x-2)$ değeri 0'dır. Yani, yatay öteleme sonucunda $(0,0)$ noktası $(2,0)$ noktasına taşınmıştır.
- Şimdi dikey ötelemeyi uygulayalım: $f(x-2)+3$. Az önce bulduk ki $x=2$ iken $f(x-2)=0$. Şimdi bu değere 3 eklememiz gerekiyor. Yani $g(2) = f(2-2)+3 = f(0)+3 = 0+3 = 3$.
- Bu durumda, $g(x)$ fonksiyonunun grafiği $x=2$ iken $y=3$ değerini alır. Yani, $g(x)$ fonksiyonunun grafiği kesinlikle $(2,3)$ noktasından geçer.
- Seçenekleri Kontrol Edelim:
Bulduğumuz nokta $(2,3)$ noktasıdır. Seçeneklere baktığımızda, A seçeneği $(2,3)$ noktasını göstermektedir.
Cevap A seçeneğidir.
