$f(x) = \begin{cases} ax^2 + b, & x < 1 \\ 4x - 1, & x \ge 1 \end{cases}$ fonksiyonunun $x=1$ noktasında türevlenebilir olması için $a+b$ değeri kaç olmalıdır?
A) $0$
B) $1$
C) $2$
D) $3$
E) $4$
Bir fonksiyonun belirli bir noktada türevlenebilir olması için iki temel koşulu sağlaması gerekir:
- Süreklilik: Fonksiyon o noktada sürekli olmalıdır.
- Türevlerin Eşitliği: Fonksiyonun o noktadaki sol türevi ile sağ türevi birbirine eşit olmalıdır.
Şimdi bu adımları $f(x)$ fonksiyonu için $x=1$ noktasında uygulayalım:
-
1. Adım: Süreklilik Koşulu
Bir fonksiyonun $x=c$ noktasında sürekli olması için $\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)$ koşulunu sağlaması gerekir.
- Sol limit: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (ax^2 + b) = a(1)^2 + b = a + b$
- Sağ limit: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (4x - 1) = 4(1) - 1 = 3$
- Fonksiyonun değeri: $f(1) = 4(1) - 1 = 3$ (Çünkü $x \ge 1$ için $4x-1$ kuralı geçerlidir.)
Süreklilik için bu değerlerin eşit olması gerekir:
$a + b = 3$ (Bu bizim ilk denklemimiz)
-
2. Adım: Türevlerin Eşitliği Koşulu
Fonksiyonun $x=1$ noktasında türevlenebilir olması için sol türevi ile sağ türevinin eşit olması gerekir.
- Öncelikle fonksiyonun parçalarının türevlerini alalım:
- $x < 1$ için $f(x) = ax^2 + b \implies f'(x) = 2ax$
- $x > 1$ için $f(x) = 4x - 1 \implies f'(x) = 4$
- Şimdi $x=1$ noktasındaki sol ve sağ türevleri bulalım:
- Sol türev: $f'(1^-) = 2a(1) = 2a$
- Sağ türev: $f'(1^+) = 4$
Türevlenebilirlik için sol ve sağ türevler eşit olmalıdır:
$2a = 4$ (Bu bizim ikinci denklemimiz)
-
3. Adım: $a$ ve $b$ Değerlerini Bulma
İkinci denklemden $a$ değerini bulalım:
$2a = 4 \implies a = 2$
$a$ değerini ilk denklemde yerine koyarak $b$ değerini bulalım:
$a + b = 3$
$2 + b = 3 \implies b = 1$
-
4. Adım: $a+b$ Değerini Hesaplama
Bulduğumuz $a=2$ ve $b=1$ değerlerini toplayalım:
$a + b = 2 + 1 = 3$
Bu durumda $a+b$ değeri $3$ olmalıdır.
Cevap D seçeneğidir.
