12. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 4. Senaryo Test 2

$f(x) = (x^2 + 3x)(e^x)$ fonksiyonunun türevi $f'(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?

A) $(2x+3)e^x$

B) $(x^2+3x+2x+3)e^x$

C) $(x^2+5x+3)e^x$

D) $(x^2+3x)e^x + (2x+3)e^x$

E) $(x^2+5x+3)e^x + (x^2+3x)e^x$

Bu soruda, iki fonksiyonun çarpımı şeklinde verilmiş bir fonksiyonun türevini bulmamız isteniyor. Bu tür durumlarda çarpım kuralını kullanırız.

• Verilen fonksiyon $f(x) = (x^2 + 3x)(e^x)$ şeklindedir. Bu fonksiyonu $u(x) \cdot v(x)$ şeklinde düşünebiliriz.
• Burada, birinci fonksiyonumuz $u(x) = x^2 + 3x$ ve ikinci fonksiyonumuz $v(x) = e^x$ olsun.
• Çarpım kuralı bize şunu söyler: Eğer $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ ise, $f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$ olur.
• Şimdi $u(x)$ ve $v(x)$ fonksiyonlarının ayrı ayrı türevlerini bulalım:
• $u(x) = x^2 + 3x$ fonksiyonunun türevi $u'(x)$ için kuvvet kuralını ve toplam kuralını kullanırız. $x^2$ teriminin türevi $2x$'tir ve $3x$ teriminin türevi $3$'tür. Böylece, $u'(x) = 2x + 3$ olur.
• $v(x) = e^x$ fonksiyonunun türevi $v'(x)$ için üstel fonksiyonun türev kuralını kullanırız. $e^x$ fonksiyonunun türevi yine $e^x$'tir. Böylece, $v'(x) = e^x$ olur.
• Şimdi bulduğumuz $u(x)$, $u'(x)$, $v(x)$ ve $v'(x)$ değerlerini çarpım kuralı formülünde yerine yazalım: $f'(x) = (2x+3)(e^x) + (x^2+3x)(e^x)$
• Bu ifadeyi daha sade bir hale getirmek için ortak çarpan olan $e^x$'i parantez dışına alalım: $f'(x) = e^x [(2x+3) + (x^2+3x)]$
• Parantez içindeki terimleri düzenleyelim: $f'(x) = e^x [x^2 + 3x + 2x + 3]$
• Benzer terimleri (yani $x$'li terimleri) toplayalım: $f'(x) = e^x [x^2 + (3x+2x) + 3]$ $f'(x) = e^x [x^2 + 5x + 3]$
• Sonuç olarak, fonksiyonumuzun türevi $f'(x) = (x^2 + 5x + 3)e^x$ olarak bulunur.
• Bu sonucu seçeneklerle karşılaştırdığımızda, C seçeneği ile eşleştiğini görüyoruz.

Cevap C seçeneğidir.