$f(x) = \frac{3x-1}{x+2}$ fonksiyonunun türevi $f'(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?
A) $\frac{7}{(x+2)^2}$
B) $\frac{5}{(x+2)^2}$
C) $\frac{3}{(x+2)^2}$
D) $\frac{3x+1}{(x+2)^2}$
E) $\frac{3x-1}{(x+2)^2}$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, bir fonksiyonun türevini nasıl alacağımızı öğreneceğiz. Özellikle, bölüm şeklindeki fonksiyonların türevini alırken kullandığımız "Bölüm Kuralı"nı uygulayacağız.
Fonksiyonumuz $f(x) = \frac{3x-1}{x+2}$ olarak verilmiş. Bu fonksiyonun türevi $f'(x)$'i bulmamız isteniyor.
- 1. Bölüm Kuralı'nı Hatırlayalım:
- Eğer bir fonksiyon $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ şeklinde ise, türevi olan $f'(x)$ şu formülle bulunur:
- $f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
- 2. $u(x)$ ve $v(x)$ Fonksiyonlarını Belirleyelim:
- Verilen fonksiyonda pay (üst kısım) $u(x)$, payda (alt kısım) ise $v(x)$'tir.
- $u(x) = 3x-1$
- $v(x) = x+2$
- 3. $u(x)$ ve $v(x)$ Fonksiyonlarının Türevlerini Bulalım:
- Şimdi $u(x)$ ve $v(x)$'in ayrı ayrı türevlerini alalım.
- $u'(x) = \frac{d}{dx}(3x-1)$
- Bir sabit ile çarpılan $x$'in türevi sabitin kendisidir, sabit sayının türevi ise sıfırdır. Bu yüzden:
- $u'(x) = 3 - 0 = 3$
- $v'(x) = \frac{d}{dx}(x+2)$
- $x$'in türevi $1$'dir, sabit sayının türevi sıfırdır. Bu yüzden:
- $v'(x) = 1 + 0 = 1$
- 4. Bölüm Kuralı Formülünde Yerine Koyalım:
- Bulduğumuz $u(x)$, $v(x)$, $u'(x)$ ve $v'(x)$ değerlerini Bölüm Kuralı formülüne yerleştirelim:
- $f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
- $f'(x) = \frac{(3)(x+2) - (3x-1)(1)}{(x+2)^2}$
- 5. İfadeyi Sadeleştirelim:
- Şimdi pay kısmındaki işlemleri yapalım:
- Pay: $3(x+2) - (3x-1)(1)$
- Pay: $(3x + 6) - (3x - 1)$
- Parantezleri açarken işaretlere dikkat edelim:
- Pay: $3x + 6 - 3x + 1$
- $3x$ terimleri birbirini götürür:
- Pay: $6 + 1 = 7$
- Payda kısmı ise olduğu gibi kalır: $(x+2)^2$
- 6. Sonucu Yazalım:
- Tüm bu adımlardan sonra, fonksiyonumuzun türevi $f'(x)$ şu şekilde bulunur:
- $f'(x) = \frac{7}{(x+2)^2}$
Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
