12. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 4. Senaryo Test 2

$f(x) = x^4 - 4x^3 + 12$ fonksiyonunun büküm (dönüm) noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?

A) $0$

B) $1$

C) $2$

D) $3$

E) $4$

Bir fonksiyonun büküm (dönüm) noktalarını bulmak için, fonksiyonun ikinci türevini almamız ve bu ikinci türevi sıfıra eşitlememiz gerekir. İkinci türevin işaret değiştirdiği noktalar büküm noktalarıdır. Bu adımları sırasıyla uygulayalım:

• Adım 1: Fonksiyonun Birinci Türevini Bulma

Verilen fonksiyon $f(x) = x^4 - 4x^3 + 12$.

Fonksiyonun birinci türevini ($f'(x)$) alalım:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 4x^3 + 12)$

$f'(x) = 4x^3 - 4 \cdot 3x^2 + 0$

$f'(x) = 4x^3 - 12x^2$

• Adım 2: Fonksiyonun İkinci Türevini Bulma

Şimdi birinci türevin ($f'(x)$) türevini alarak ikinci türevi ($f''(x)$) bulalım:

$f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 12x^2)$

$f''(x) = 4 \cdot 3x^2 - 12 \cdot 2x$

$f''(x) = 12x^2 - 24x$

• Adım 3: İkinci Türevi Sıfıra Eşitleme ve Kökleri Bulma

Büküm noktalarının apsislerini bulmak için ikinci türevi sıfıra eşitleriz:

$f''(x) = 0$

$12x^2 - 24x = 0$

Bu denklemi çözmek için ortak çarpan parantezine alalım:

$12x(x - 2) = 0$

Bu denklemin iki çözümü vardır:

$12x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$

$x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$

Bu $x$ değerleri potansiyel büküm noktalarının apsisleridir.

• Adım 4: İkinci Türevin İşaret Değişimini Kontrol Etme

Büküm noktası olabilmesi için ikinci türevin işaret değiştirmesi gerekir. Bulduğumuz köklerin solunda ve sağında $f''(x)$'in işaretini inceleyelim:

• $x < 0$ için (örneğin $x = -1$): $f''(-1) = 12(-1)^2 - 24(-1) = 12 + 24 = 36 > 0$. (Fonksiyon yukarı konkav)
• $0 < x < 2$ için (örneğin $x = 1$): $f''(1) = 12(1)^2 - 24(1) = 12 - 24 = -12 < 0$. (Fonksiyon aşağı konkav)
• $x > 2$ için (örneğin $x = 3$): $f''(3) = 12(3)^2 - 24(3) = 108 - 72 = 36 > 0$. (Fonksiyon yukarı konkav)

$x=0$ noktasında $f''(x)$'in işareti pozitiften negatife, $x=2$ noktasında ise negatiften pozitife değişmektedir. Bu durum, hem $x=0$ hem de $x=2$ noktalarının birer büküm noktası olduğunu gösterir.

• Adım 5: Büküm Noktalarının Apsisleri Toplamını Bulma

Büküm noktalarının apsisleri $0$ ve $2$'dir.

Bu apsislerin toplamı:

Toplam $= 0 + 2 = 2$

Cevap C seçeneğidir.