Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bileşke bir fonksiyonun türevini bulmamız isteniyor. Bu tür fonksiyonların türevini alırken "Zincir Kuralı"nı kullanırız. Adım adım ilerleyerek bu kuralı nasıl uygulayacağımızı görelim.
Verilen fonksiyon $f(x) = (2x^3 - 4x + 7)^5$ şeklindedir. Bu fonksiyon, bir iç fonksiyonun kuvveti olarak yazılmış bir bileşke fonksiyondur. Genel olarak, eğer $f(x) = [g(x)]^n$ şeklinde bir fonksiyonumuz varsa, türevi $f'(x) = n \cdot [g(x)]^{n-1} \cdot g'(x)$ formülü ile bulunur. Bu formül, Zincir Kuralı'nın bir uygulamasıdır.
Fonksiyonumuzu $f(x) = [g(x)]^n$ formatında düşünürsek:
Öncelikle, iç fonksiyonu bir bütün olarak düşünerek dıştaki kuvvetin türevini alırız. Yani, $u^5$ ifadesinin $u$'ya göre türevini alır gibi düşüneceğiz. Bu da $5u^{5-1} = 5u^4$ olacaktır. Burada $u$ yerine tekrar $g(x)$'i yazarsak, $5(2x^3 - 4x + 7)^4$ elde ederiz.
Şimdi iç fonksiyonumuz olan $g(x) = 2x^3 - 4x + 7$ ifadesinin $x$'e göre türevini almalıyız. Her terimin türevini ayrı ayrı alalım:
Bu durumda, iç fonksiyonun türevi $g'(x) = 6x^2 - 4$ olur.
Zincir Kuralı'na göre, dış fonksiyonun türevi ile iç fonksiyonun türevini çarpmalıyız:
$f'(x) = (\text{dış fonksiyonun türevi}) \cdot (\text{iç fonksiyonun türevi})$
$f'(x) = 5(2x^3 - 4x + 7)^4 \cdot (6x^2 - 4)$
Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneği ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
