12. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 1. senaryo Test 1

$f(x) = x^3 - 2x$ fonksiyonunun $x=1$ noktasındaki türevi, limit tanımı kullanılarak aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\lim_{h \to 0} \frac{((1+h)^3 - 2(1+h)) - (1^3 - 2 \cdot 1)}{h}$

B) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 2x - (1^3 - 2 \cdot 1)}{x-1}$

C) $\lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^3 - 2(1+h)}{h}$

D) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 2x}{x-1}$

E) $\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)}{h}$

• Adım 1: Türevin Limit Tanımını Hatırlayalım

  Bir $f(x)$ fonksiyonunun $x=a$ noktasındaki türevi, $f'(a)$, iki farklı limit tanımıyla ifade edilebilir:

  • Birinci Tanım (fark bölümü tanımı): $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$
  • İkinci Tanım (alternatif tanım): $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$

  Bu iki tanım da aynı anlama gelir ve bir fonksiyonun belirli bir noktadaki anlık değişim oranını (eğimini) temsil eder.

• Adım 2: Verilen Fonksiyon ve Noktayı Belirleyelim

  Soruda verilen fonksiyon $f(x) = x^3 - 2x$'tir.

  Türevinin hesaplanması istenen nokta $x=1$'dir. Yani, $a=1$'dir.

• Adım 3: $f(a)$ Değerini Hesaplayalım

  $a=1$ olduğu için $f(1)$ değerini hesaplamamız gerekiyor:

  • $f(1) = (1)^3 - 2(1) = 1 - 2 = -1$
• Adım 4: Türevin Limit Tanımlarını Uygulayalım

  Şimdi, $f(x) = x^3 - 2x$, $a=1$ ve $f(1)=-1$ değerlerini her iki tanıma da yerleştirelim.

  • Birinci Tanıma Göre ($h \to 0$):

    $f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$

    Önce $f(1+h)$ ifadesini bulalım:

    • $f(1+h) = (1+h)^3 - 2(1+h)$

    Bu değerleri formülde yerine koyarsak:

    • $f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{((1+h)^3 - 2(1+h)) - (-1)}{h}$
    • $f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{((1+h)^3 - 2(1+h)) - (1^3 - 2 \cdot 1)}{h}$ (Çünkü $-1$ değeri $1^3 - 2 \cdot 1$ olarak da yazılabilir.)
  • İkinci Tanıma Göre ($x \to a$):

    $f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x-1}$

    Bu değerleri formülde yerine koyarsak:

    • $f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{(x^3 - 2x) - (-1)}{x-1}$
    • $f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 2x - (1^3 - 2 \cdot 1)}{x-1}$
• Adım 5: Seçenekleri İnceleyelim

  Bulduğumuz ifadeleri seçeneklerle karşılaştıralım:

  • A) $\lim_{h \to 0} \frac{((1+h)^3 - 2(1+h)) - (1^3 - 2 \cdot 1)}{h}$

    Bu ifade, bizim birinci tanımı kullanarak bulduğumuz ifadeyle tamamen aynıdır. $f(1)$ değeri olan $-1$, $1^3 - 2 \cdot 1$ şeklinde yazılmıştır.

  • B) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 2x - (1^3 - 2 \cdot 1)}{x-1}$

    Bu ifade, bizim ikinci tanımı kullanarak bulduğumuz ifadeyle tamamen aynıdır. Bu da $x=1$ noktasındaki türevin doğru bir limit tanımıdır. Ancak soruda "aşağıdakilerden hangisidir" dendiği ve A seçeneği de doğru olduğu için, A seçeneğini işaretlememiz gerekir.

  • C) $\lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^3 - 2(1+h)}{h}$

    Bu ifadede $f(1)$ değeri çıkarılmamıştır. Yani, $\frac{f(a+h)}{h}$ şeklindedir, bu da türevin tanımı değildir.

  • D) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 2x}{x-1}$

    Bu ifadede $f(1)$ değeri çıkarılmamıştır. Yani, $\frac{f(x)}{x-a}$ şeklindedir, bu da türevin tanımı değildir.

  • E) $\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)}{h}$

    Bu ifade C seçeneği ile aynıdır ve türevin tanımı değildir.

Yukarıdaki incelemeler sonucunda, A seçeneğindeki ifadenin $f(x) = x^3 - 2x$ fonksiyonunun $x=1$ noktasındaki türevinin limit tanımına tam olarak uyduğunu görmekteyiz.

Cevap A seçeneğidir.