12. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 1. senaryo Test 1

$f(x) = (x^3 - 2x + 1)^4$ fonksiyonunun türevi $f'(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?

A) $4(x^3 - 2x + 1)^3$

B) $4(3x^2 - 2)^3$

C) $4(x^3 - 2x + 1)^3 (3x^2 - 2)$

D) $(3x^2 - 2)^3$

E) $12x^2(x^3 - 2x + 1)^3$

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bileşke bir fonksiyonun türevini almayı öğreneceğiz. Fonksiyonumuz $f(x) = (x^3 - 2x + 1)^4$ şeklinde verilmiş. Bu tür fonksiyonların türevini alırken "Zincir Kuralı"nı kullanırız.

• Adım 1: Zincir Kuralı'nı Hatırlayalım

Zincir Kuralı, bir fonksiyonun başka bir fonksiyonun içine yerleştirildiği durumlarda (yani bileşke fonksiyonlarda) kullanılır. Eğer $f(x) = [g(x)]^n$ şeklinde bir fonksiyonumuz varsa, türevi $f'(x) = n[g(x)]^{n-1} \cdot g'(x)$ formülü ile bulunur. Kısaca, "dışının türevi çarpı içinin türevi" diyebiliriz.

• Adım 2: Fonksiyonun İç ve Dış Kısımlarını Belirleyelim

Verilen fonksiyon $f(x) = (x^3 - 2x + 1)^4$ ifadesinde:

• Dış fonksiyon: Bir şeyin 4. kuvveti, yani $(\text{bir şey})^4$.
• İç fonksiyon: Parantezin içindeki ifade, yani $g(x) = x^3 - 2x + 1$.
• Adım 3: Dış Fonksiyonun Türevini Alalım

Dış fonksiyon $(\text{bir şey})^4$ olduğu için, bunun türevi $4(\text{bir şey})^{4-1} = 4(\text{bir şey})^3$ olacaktır. Burada "bir şey" yerine iç fonksiyonu, yani $x^3 - 2x + 1$ ifadesini yazacağız. Böylece dış kısmın türevi $4(x^3 - 2x + 1)^3$ olur.

• Adım 4: İç Fonksiyonun Türevini Alalım

Şimdi iç fonksiyonumuz olan $g(x) = x^3 - 2x + 1$ ifadesinin türevini alalım:

• $x^3$'ün türevi $3x^2$'dir.
• $-2x$'in türevi $-2$'dir.
• $+1$ (sabit sayı) türevi $0$'dır.

Bu durumda iç fonksiyonun türevi $g'(x) = 3x^2 - 2 + 0 = 3x^2 - 2$ olur.

• Adım 5: Zincir Kuralı'nı Uygulayarak Sonucu Bulalım

Zincir Kuralı'na göre, dış fonksiyonun türevini (iç fonksiyonu olduğu gibi bırakarak) iç fonksiyonun türevi ile çarpmamız gerekiyor:

$f'(x) = (\text{Dış fonksiyonun türevi}) \times (\text{İç fonksiyonun türevi})$

$f'(x) = 4(x^3 - 2x + 1)^3 \cdot (3x^2 - 2)$

Bu sonuç, seçeneklere baktığımızda C seçeneği ile aynıdır.

Cevap C seçeneğidir.