$f(x) = \frac{x^2+3}{2x-1}$ fonksiyonunun türevi $f'(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?
A) $\frac{2x^2-2x-6}{(2x-1)^2}$
B) $\frac{2x^2+2x-6}{(2x-1)^2}$
C) $\frac{2x^2-2x+6}{(2x-1)^2}$
D) $\frac{2x^2-2x}{(2x-1)^2}$
E) $\frac{2x^2-6}{(2x-1)^2}$
Bu soruyu çözmek için, bölüm türevi kuralını kullanmamız gerekiyor. Bölüm türevi kuralı, iki fonksiyonun birbirine bölümünün türevini bulmamızı sağlar.
- Öncelikle, verilen fonksiyonu $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ şeklinde tanımlayalım. Burada $u(x)$ pay kısmındaki fonksiyon, $v(x)$ ise payda kısmındaki fonksiyondur.
- Bizim fonksiyonumuzda:
- Pay (üst kısım): $u(x) = x^2+3$
- Payda (alt kısım): $v(x) = 2x-1$
- Şimdi, bölüm türevi kuralını hatırlayalım: Eğer $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ ise, $f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$ şeklindedir.
- Bu kuralı uygulayabilmek için $u(x)$ ve $v(x)$ fonksiyonlarının türevlerini bulmamız gerekiyor:
- $u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2+3) = 2x$ (Çünkü $x^n$'in türevi $nx^{n-1}$ ve sabit sayının türevi $0$'dır.)
- $v'(x) = \frac{d}{dx}(2x-1) = 2$ (Çünkü $ax$'in türevi $a$ ve sabit sayının türevi $0$'dır.)
- Şimdi bulduğumuz bu ifadeleri bölüm türevi formülünde yerine yazalım:
$f'(x) = \frac{(2x)(2x-1) - (x^2+3)(2)}{(2x-1)^2}$
- Pay kısmındaki ifadeyi dikkatlice açalım ve sadeleştirelim:
- $(2x)(2x-1) = 4x^2 - 2x$
- $(x^2+3)(2) = 2x^2 + 6$
- Bu ifadeleri pay kısmında yerine koyarsak:
Pay = $(4x^2 - 2x) - (2x^2 + 6)$
- Parantezleri açarken işaretlere dikkat edelim:
Pay = $4x^2 - 2x - 2x^2 - 6$
- Benzer terimleri birleştirelim ($x^2$'li terimler ve sabit terimler):
Pay = $(4x^2 - 2x^2) - 2x - 6$
Pay = $2x^2 - 2x - 6$
- Sonuç olarak, fonksiyonun türevi $f'(x)$ şu şekilde bulunur:
$f'(x) = \frac{2x^2 - 2x - 6}{(2x-1)^2}$
Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneği ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
