$f(x) = \sqrt{x^3} + \frac{1}{x^2}$ fonksiyonunun türevi $f'(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?
A) $\frac{3\sqrt{x}}{2} + \frac{2}{x^3}$
B) $\frac{3\sqrt{x}}{2} - \frac{2}{x^3}$
C) $\frac{2}{3\sqrt{x}} - \frac{2}{x^3}$
D) $\frac{3}{2x\sqrt{x}} - \frac{2}{x^3}$
E) $\frac{3\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2x}$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, verilen bir fonksiyonun türevini bulmamız isteniyor. Türev alma kurallarını adım adım uygulayarak doğru cevaba ulaşalım.
Verilen fonksiyon: $f(x) = \sqrt{x^3} + \frac{1}{x^2}$
- Adım 1: Fonksiyonu türev almaya daha uygun bir biçimde yazalım.
- Köklü ifadeleri ve paydadaki üslü ifadeleri üslü biçimde yazmak, türev almayı kolaylaştırır.
- $\sqrt{x^3}$ ifadesini $x^{3/2}$ olarak yazabiliriz. Çünkü $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$ kuralı vardır ve karekök için $n=2$'dir.
- $\frac{1}{x^2}$ ifadesini $x^{-2}$ olarak yazabiliriz. Çünkü $\frac{1}{x^n} = x^{-n}$ kuralı vardır.
- Böylece fonksiyonumuz şu hale gelir: $f(x) = x^{3/2} + x^{-2}$
- Adım 2: Her bir terimin türevini ayrı ayrı alalım.
- Türev alma kurallarından biri olan "kuvvet kuralı"nı hatırlayalım: Eğer $g(x) = x^n$ ise, $g'(x) = nx^{n-1}$ olur.
- Ayrıca, bir toplamın türevi, terimlerin türevlerinin toplamına eşittir: $(u+v)' = u' + v'$.
- Birinci terimin türevi: $x^{3/2}$
- Burada $n = 3/2$. Kuvvet kuralını uygulayalım:
- $\frac{d}{dx}(x^{3/2}) = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$
- $x^{1/2}$ ifadesi $\sqrt{x}$ demektir. O halde, birinci terimin türevi $\frac{3}{2}\sqrt{x}$ olur.
- İkinci terimin türevi: $x^{-2}$
- Burada $n = -2$. Kuvvet kuralını uygulayalım:
- $\frac{d}{dx}(x^{-2}) = -2x^{-2-1} = -2x^{-3}$
- $x^{-3}$ ifadesi $\frac{1}{x^3}$ demektir. O halde, ikinci terimin türevi $-2 \cdot \frac{1}{x^3} = -\frac{2}{x^3}$ olur.
- Adım 3: Bulduğumuz türevleri birleştirelim.
- $f'(x) = (\text{birinci terimin türevi}) + (\text{ikinci terimin türevi})$
- $f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x} + \left(-\frac{2}{x^3}\right)$
- $f'(x) = \frac{3\sqrt{x}}{2} - \frac{2}{x^3}$
- Adım 4: Sonucu seçeneklerle karşılaştıralım.
- Bulduğumuz türev ifadesi $\frac{3\sqrt{x}}{2} - \frac{2}{x^3}$ şeklindedir.
- Bu ifade, B seçeneğinde verilen ifade ile aynıdır.
Cevap B seçeneğidir.
