Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türevini türev tanımını kullanarak hesaplamak için aşağıdaki adımları takip ederiz. Türev tanımı, bir fonksiyonun bir noktadaki anlık değişim oranını limit yardımıyla bulmamızı sağlar.
- Türev Tanımını Hatırlayalım:
Bir $f(x)$ fonksiyonunun $x=a$ noktasındaki türevi $f'(a)$ şu şekilde tanımlanır:
$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$
- Verilen Fonksiyon ve Noktayı Belirleyelim:
Fonksiyonumuz $f(x) = x^2 - 5x + 2$ ve türevini hesaplayacağımız nokta $x = 2$'dir. Yani $a=2$.
- $f(a)$ Değerini Hesaplayalım:
$f(2)$ değerini bulalım:
$f(2) = (2)^2 - 5(2) + 2$
$f(2) = 4 - 10 + 2$
$f(2) = -4$
- $f(a+h)$ Değerini Hesaplayalım:
$f(2+h)$ değerini bulalım. $x$ yerine $(2+h)$ yazmalıyız:
$f(2+h) = (2+h)^2 - 5(2+h) + 2$
Parantezleri açalım:
$(2+h)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot h + h^2 = 4 + 4h + h^2$
$5(2+h) = 10 + 5h$
Şimdi bunları yerine yazalım:
$f(2+h) = (4 + 4h + h^2) - (10 + 5h) + 2$
$f(2+h) = 4 + 4h + h^2 - 10 - 5h + 2$
Benzer terimleri birleştirelim:
$f(2+h) = h^2 + (4h - 5h) + (4 - 10 + 2)$
$f(2+h) = h^2 - h - 4$
- Türev Tanımında Yerine Koyalım ve İfadeyi Sadeleştirelim:
Şimdi $f(2+h)$ ve $f(2)$ değerlerini türev tanımı formülüne yerleştirelim:
$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{(h^2 - h - 4) - (-4)}{h}$
Pay kısmını sadeleştirelim:
$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 - h - 4 + 4}{h}$
$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 - h}{h}$
Pay kısmını $h$ parantezine alalım:
$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{h(h - 1)}{h}$
$h \to 0$ olduğu için $h \neq 0$ kabul edebiliriz ve pay ile paydadaki $h$ terimlerini sadeleştirebiliriz:
$f'(2) = \lim_{h \to 0} (h - 1)$
- Limiti Hesaplayalım:
Şimdi $h$ yerine $0$ yazarak limiti hesaplayalım:
$f'(2) = 0 - 1$
$f'(2) = -1$
Buna göre, $f(x) = x^2 - 5x + 2$ fonksiyonunun $x = 2$ noktasındaki türevi $-1$ olarak bulunur.
Cevap B seçeneğidir.
