12. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 3. senaryo Test 1

$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

A) $(-\infty, -1)$

B) $(-1, 3)$

C) $(3, \infty)$

D) $(-\infty, -1) \cup (3, \infty)$

E) $(-3, 1)$

Bir fonksiyonun azalan olduğu aralığı bulmak için, fonksiyonun birinci türevini alıp bu türevin negatif olduğu aralıkları belirlememiz gerekir. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Fonksiyonun Birinci Türevini Bulma
• Verilen fonksiyon $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$'tir.
• Bu fonksiyonun birinci türevini alalım:
• $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 - 9x + 5)$
• $f'(x) = 3x^2 - 3(2x) - 9(1) + 0$
• $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$
• Adım 2: Türevin Sıfır Olduğu Noktaları (Kritik Noktaları) Bulma
• Fonksiyonun azalan veya artan olduğu aralıkları belirlemek için türevin işaretini incelemeliyiz. Türevin işaret değiştirdiği noktalar genellikle türevin sıfır olduğu noktalardır. Bu noktalara kritik noktalar denir.
• $f'(x) = 0$ denklemini çözelim:
• $3x^2 - 6x - 9 = 0$
• Denklemin her tarafını $3$'e bölelim:
• $x^2 - 2x - 3 = 0$
• Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım. Çarpımları $-3$ ve toplamları $-2$ olan iki sayı $-3$ ve $1$'dir.
• $(x - 3)(x + 1) = 0$
• Buradan kritik noktalar $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ ve $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$ olarak bulunur.
• Adım 3: Türevin İşaretini İnceleme
• Kritik noktalarımız $x = -1$ ve $x = 3$'tür. Bu noktalar sayı doğrusunu üç aralığa ayırır: $(-\infty, -1)$, $(-1, 3)$ ve $(3, \infty)$.
• $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$ ifadesi, baş katsayısı pozitif ($3 > 0$) olan bir parabol denklemini temsil eder. Bu tür paraboller yukarı doğru açılır. Kökleri $-1$ ve $3$ olduğundan, parabol kökler arasında negatif, köklerin dışında ise pozitif değerler alır.
• Alternatif olarak, her aralıktan bir test noktası seçerek türevin işaretini inceleyebiliriz:
• Aralık $(-\infty, -1)$ için: $x = -2$ seçelim.
• $f'(-2) = 3(-2)^2 - 6(-2) - 9 = 3(4) + 12 - 9 = 12 + 12 - 9 = 15$.
• $f'(-2) = 15 > 0$ olduğundan, bu aralıkta fonksiyon artandır.
• Aralık $(-1, 3)$ için: $x = 0$ seçelim.
• $f'(0) = 3(0)^2 - 6(0) - 9 = -9$.
• $f'(0) = -9 < 0$ olduğundan, bu aralıkta fonksiyon azalandır.
• Aralık $(3, \infty)$ için: $x = 4$ seçelim.
• $f'(4) = 3(4)^2 - 6(4) - 9 = 3(16) - 24 - 9 = 48 - 24 - 9 = 15$.
• $f'(4) = 15 > 0$ olduğundan, bu aralıkta fonksiyon artandır.
• Adım 4: Azalan Olduğu En Geniş Aralığı Belirleme
• Fonksiyonun azalan olduğu aralık, birinci türevin negatif olduğu aralıktır. Yaptığımız incelemeye göre bu aralık $(-1, 3)$'tür.

Cevap B seçeneğidir.