Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde, belirli bir miktar malzeme kullanarak yapacağımız üstü açık bir kutunun hacmini en büyük yapmaya çalışıyoruz. Bu tür problemler genellikle "optimizasyon" problemleri olarak adlandırılır ve türev yardımıyla çözülürler. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Değişkenleri Tanımlayalım ve Verilenleri Yazalım:
- Kutunun tabanı kare şeklinde olduğu için, taban kenar uzunluğunu $x$ cm olarak belirleyelim.
- Kutunun yüksekliğini $h$ cm olarak belirleyelim.
- Kullanılan toplam malzeme miktarı (yani kutunun yüzey alanı) $108$ cm$^2$ olarak verilmiştir.
- Kutu üstü açık olduğu için, yüzey alanı bir taban alanı ve dört yan yüzey alanının toplamından oluşur.
- Taban alanı: $x \cdot x = x^2$
- Bir yan yüzey alanı: $x \cdot h$
- Dört yan yüzey alanı: $4xh$
- Toplam yüzey alanı (malzeme miktarı): $A = x^2 + 4xh$.
- Bize verilen $A = 108$ cm$^2$ olduğu için, $108 = x^2 + 4xh$ denklemini elde ederiz. Bu bizim kısıtlayıcı denklemimizdir.
- Kutunun hacmi $V = \text{Taban Alanı} \times \text{Yükseklik}$ formülüyle bulunur. Yani $V = x^2h$. Amacımız bu hacmi en büyük yapmaktır.
- 2. Hacim Fonksiyonunu Tek Değişken Cinsinden Yazalım:
- Hacim fonksiyonu $V = x^2h$ iki değişkene ($x$ ve $h$) bağlıdır. Türev alabilmek için bunu tek değişkene indirmemiz gerekir. Bunun için kısıtlayıcı denklemi kullanacağız: $108 = x^2 + 4xh$.
- Bu denklemden $h$'yi $x$ cinsinden çekelim:
- $4xh = 108 - x^2$
- $h = \frac{108 - x^2}{4x}$
- Şimdi bu $h$ ifadesini hacim formülünde yerine koyalım:
- $V(x) = x^2 \left( \frac{108 - x^2}{4x} \right)$
- $V(x) = \frac{x(108 - x^2)}{4}$
- $V(x) = \frac{108x - x^3}{4}$
- $V(x) = 27x - \frac{1}{4}x^3$
- Bu, hacmi sadece $x$ değişkenine bağlı bir fonksiyon olarak ifade eder. $x$ değeri pozitif olmalıdır ($x > 0$). Ayrıca $108 - x^2 > 0$ olmalıdır, yani $x^2 < 108$, bu da $x < \sqrt{108}$ anlamına gelir.
- 3. Hacim Fonksiyonunun Türevini Alalım:
- Bir fonksiyonun maksimum veya minimum değerini bulmak için türevini alıp sıfıra eşitleriz.
- $V(x) = 27x - \frac{1}{4}x^3$ fonksiyonunun $x$'e göre türevini alalım:
- $V'(x) = \frac{d}{dx}(27x - \frac{1}{4}x^3)$
- $V'(x) = 27 - \frac{1}{4}(3x^2)$
- $V'(x) = 27 - \frac{3}{4}x^2$
- 4. Türevi Sıfıra Eşitleyelim ve Kritik Noktayı Bulalım:
- $V'(x) = 0$ denklemini çözerek hacmin maksimum veya minimum olabileceği $x$ değerlerini buluruz:
- $27 - \frac{3}{4}x^2 = 0$
- $27 = \frac{3}{4}x^2$
- $27 \cdot 4 = 3x^2$
- $108 = 3x^2$
- $x^2 = \frac{108}{3}$
- $x^2 = 36$
- $x = \pm 6$
- Kutunun kenar uzunluğu negatif olamayacağı için $x = 6$ cm değerini alırız.
- 5. Maksimum Değeri Doğrulayalım (İkinci Türev Testi):
- Bulduğumuz $x$ değerinin gerçekten bir maksimuma karşılık geldiğini doğrulamak için ikinci türev testini kullanabiliriz.
- $V'(x) = 27 - \frac{3}{4}x^2$ ifadesinin bir kez daha türevini alalım:
- $V''(x) = \frac{d}{dx}(27 - \frac{3}{4}x^2)$
- $V''(x) = -\frac{3}{4}(2x)$
- $V''(x) = -\frac{3}{2}x$
- Şimdi $x=6$ değerini ikinci türevde yerine koyalım:
- $V''(6) = -\frac{3}{2}(6) = -9$
- İkinci türev değeri negatif ($V''(6) < 0$) olduğu için, $x=6$ noktasında hacim bir yerel maksimuma ulaşır. Bu da aradığımız en büyük hacim değeridir.
- 6. Yüksekliği Hesaplayalım:
- Hacmin en büyük olması için taban kenar uzunluğunu $x = 6$ cm olarak bulduk. Şimdi kutunun yüksekliğini bulmalıyız.
- Daha önce bulduğumuz $h = \frac{108 - x^2}{4x}$ formülünü kullanalım:
- $h = \frac{108 - (6)^2}{4(6)}$
- $h = \frac{108 - 36}{24}$
- $h = \frac{72}{24}$
- $h = 3$ cm
Buna göre, kutunun hacminin en büyük olması için yüksekliği $3$ cm olmalıdır.
Cevap B seçeneğidir.
