Bir fonksiyonun kapalı bir aralıktaki mutlak maksimum değerini bulmak için belirli adımları takip etmemiz gerekir. Bu adımlar şunlardır:
- Fonksiyonun türevini alıp kritik noktalarını bulmak. Kritik noktalar, türevin sıfır olduğu veya tanımsız olduğu noktalardır.
- Bulunan kritik noktalardan ve verilen aralığın uç noktalarından, aralık içinde olanları seçmek.
- Fonksiyonun değerini bu seçilen noktalarda hesaplamak.
- Hesaplanan değerler arasındaki en büyük değeri belirlemek. Bu değer, fonksiyonun aralıktaki mutlak maksimum değeridir.
Şimdi bu adımları $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ fonksiyonu ve $[0, 4]$ aralığı için uygulayalım:
- Adım 1: Fonksiyonun Türevini Bulma
- Verilen fonksiyon $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$'dir.
- Bu fonksiyonun türevini alalım: $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2) = 3x^2 - 6x$.
- Adım 2: Kritik Noktaları Bulma
- Kritik noktaları bulmak için türevi sıfıra eşitleyelim: $3x^2 - 6x = 0$.
- Ortak çarpan $3x$ parantezine alalım: $3x(x - 2) = 0$.
- Bu denklemin çözümleri bize kritik noktaları verir: $3x = 0 \Rightarrow x = 0$ ve $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.
- Bulduğumuz kritik noktalar $x = 0$ ve $x = 2$'dir. Her iki nokta da verilen $[0, 4]$ aralığının içindedir (veya uç noktasıdır).
- Adım 3: Fonksiyon Değerlerini Hesaplama
- Mutlak maksimum değeri bulmak için, fonksiyonun değerini kritik noktalarda ve aralığın uç noktalarında hesaplamamız gerekir. Bu noktalar $x = 0$, $x = 2$ (kritik noktalar) ve $x = 4$ (aralığın diğer uç noktası) şeklindedir.
- $f(0) = (0)^3 - 3(0)^2 + 2 = 0 - 0 + 2 = 2$.
- $f(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 3(4) + 2 = 8 - 12 + 2 = -2$.
- $f(4) = (4)^3 - 3(4)^2 + 2 = 64 - 3(16) + 2 = 64 - 48 + 2 = 16 + 2 = 18$.
- Adım 4: Mutlak Maksimum Değeri Belirleme
- Hesapladığımız fonksiyon değerleri $2$, $-2$ ve $18$'dir.
- Bu değerler arasındaki en büyük değer $18$'dir.
Bu nedenle, $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ fonksiyonunun $[0, 4]$ aralığındaki mutlak maksimum değeri $18$'dir.
Cevap C seçeneğidir.
