Bir fonksiyonun süreksiz olduğu noktaları bulmak için, genellikle fonksiyonun tanım kümesini incelememiz gerekir. Rasyonel bir fonksiyon olan $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ tipindeki fonksiyonlar için süreksizlikler, paydanın sıfır olduğu noktalarda meydana gelir.
Verilen fonksiyon $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}$ şeklindedir. Bu fonksiyonun süreksiz olduğu noktaları bulmak için paydasını sıfıra eşitlememiz gerekir. Payda $x^2 - x - 6$'dır.
$x^2 - x - 6 = 0$ denklemini çözmeliyiz.
Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırabiliriz. Çarpımları $-6$ ve toplamları $-1$ olan iki sayı $-3$ ve $2$'dir.
Yani, $(x - 3)(x + 2) = 0$ olur.
Bu denklemin kökleri $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ ve $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$'dir.
Rasyonel bir fonksiyonun paydasını sıfır yapan her $x$ değeri, fonksiyonun o noktada tanımsız olmasına ve dolayısıyla süreksiz olmasına neden olur. Bu süreksizlikler, dikey asimptotlar veya kaldırılabilir süreksizlikler (delikler) şeklinde olabilir. Her iki durumda da fonksiyon süreksizdir.
Bu durumda, fonksiyon $x = 3$ ve $x = -2$ noktalarında süreksizdir.
İsteğe bağlı olarak, payı da çarpanlarına ayırarak süreksizliklerin türünü kontrol edebiliriz:
Pay: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ (iki kare farkı özdeşliği).
Fonksiyonu yeniden yazarsak: $f(x) = \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)}$.
Her iki nokta da fonksiyonun süreksiz olduğu noktalardır.
Süreksiz olduğu noktaların apsisleri $x = 3$ ve $x = -2$'dir.
Bu apsislerin toplamı: $3 + (-2) = 3 - 2 = 1$'dir.
Cevap B seçeneğidir.
