Bu soruda, verilen bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türevinin değerini, türev tanımını kullanarak hesaplamamız isteniyor. Türev tanımı, bir fonksiyonun bir noktadaki anlık değişim oranını bulmamızı sağlar.
- 1. Adım: Verilen Fonksiyon ve Noktayı Belirleme
- Fonksiyonumuz $f(x) = x^2 - 3x + 5$.
- Türevini hesaplamak istediğimiz nokta $x=2$. Yani, türev tanımındaki $a$ değeri $2$'dir.
- Türev tanımı: $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.
- 2. Adım: $f(a)$ Değerini Hesaplama
- $a=2$ olduğu için $f(a) = f(2)$ değerini hesaplayalım:
- $f(2) = (2)^2 - 3(2) + 5$
- $f(2) = 4 - 6 + 5$
- $f(2) = 3$.
- 3. Adım: $f(a+h)$ Değerini Hesaplama
- $a=2$ olduğu için $f(a+h) = f(2+h)$ değerini hesaplayalım:
- $f(2+h) = (2+h)^2 - 3(2+h) + 5$
- Parantezleri açalım:
- $(2+h)^2 = 4 + 4h + h^2$
- $-3(2+h) = -6 - 3h$
- Bu ifadeleri birleştirelim:
- $f(2+h) = 4 + 4h + h^2 - 6 - 3h + 5$
- Benzer terimleri toplayalım:
- $f(2+h) = h^2 + (4h - 3h) + (4 - 6 + 5)$
- $f(2+h) = h^2 + h + 3$.
- 4. Adım: Türev Tanımında Yerine Koyma
- Şimdi bulduğumuz $f(2+h)$ ve $f(2)$ değerlerini türev tanımında yerine yazalım:
- $f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}$
- $f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{(h^2 + h + 3) - (3)}{h}$
- Pay kısmındaki $3$ terimleri birbirini götürür:
- $f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 + h}{h}$.
- 5. Adım: Limiti Hesaplama
- Pay kısmını $h$ parantezine alalım:
- $f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{h(h+1)}{h}$
- $h \to 0$ olduğu için $h \neq 0$ kabul edebiliriz ve pay ile paydadaki $h$ terimlerini sadeleştirebiliriz:
- $f'(2) = \lim_{h \to 0} (h+1)$
- Şimdi $h$ yerine $0$ yazarak limiti hesaplayalım:
- $f'(2) = 0 + 1$
- $f'(2) = 1$.
Buna göre, $f(x) = x^2 - 3x + 5$ fonksiyonunun $x=2$ noktasındaki türevinin değeri $1$'dir.
Cevap A seçeneğidir.
