11. sınıf fizik 2. dönem 1. yazılı 2. senaryo Test 3

Kenar uzunluğu $3L$ olan homojen kare bir levhanın kütle merkezi orijinde $(0,0)$ noktasındadır. Bu levhanın sağ üst köşesinden, kenar uzunluğu $L$ olan kare bir parça kesilip atılıyor.
Buna göre, kalan parçanın yeni kütle merkezinin koordinatları ne olur?
(Levhanın yüzey yoğunluğu sabittir.)

A) $(-L/4, -L/4)$

B) $(-L/8, -L/8)$

C) $(L/8, L/8)$

D) $(-L/16, -L/16)$

E) $(L/4, L/4)$

• Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir levhadan parça kesildikten sonra kütle merkezinin nasıl değiştiğini bulacağız. Kütle merkezi problemlerinde, bir parçanın çıkarılması durumunu, sanki o parçanın negatif kütlesi varmış gibi düşünebiliriz.
• Öncelikle, verilen bilgileri ve kütle merkezi formülünü hatırlayalım:
  • Büyük Levha (Başlangıç Durumu):
    • Kenar uzunluğu: $S_{büyük} = 3L$
    • Alan: $A_{büyük} = (3L)^2 = 9L^2$
    • Kütle merkezi: $(X_{büyük}, Y_{büyük}) = (0,0)$ (soruda verilmiş)
    • Yüzey yoğunluğu: $\sigma$ (sabit)
    • Kütle: $M_{büyük} = \sigma \cdot A_{büyük} = 9\sigma L^2$
  • Kesilen Parça:
    • Kenar uzunluğu: $S_{kesilen} = L$
    • Alan: $A_{kesilen} = L^2$
    • Kütle: $M_{kesilen} = \sigma \cdot A_{kesilen} = \sigma L^2$
  • Kalan Parça:
    • Kütle: $M_{kalan} = M_{büyük} - M_{kesilen} = 9\sigma L^2 - \sigma L^2 = 8\sigma L^2$
  • Kütle Merkezi Formülü (çıkarılan parça için):
    $X_{kalan} = \frac{M_{büyük} \cdot X_{büyük} - M_{kesilen} \cdot X_{kesilen}}{M_{kalan}}$
    $Y_{kalan} = \frac{M_{büyük} \cdot Y_{büyük} - M_{kesilen} \cdot Y_{kesilen}}{M_{kalan}}$
• Şimdi, kesilen parçanın kütle merkezini bulmamız gerekiyor. Büyük levhanın kütle merkezi $(0,0)$ noktasında olduğuna göre, kenar uzunluğu $3L$ olan bu levhanın köşeleri $(\pm 3L/2, \pm 3L/2)$ noktalarındadır. Sağ üst köşe $(3L/2, 3L/2)$ noktasıdır.
• Kenar uzunluğu $L$ olan kare parça bu sağ üst köşeden kesiliyor. Bu, kesilen parçanın x-koordinatlarının $3L/2 - L$ ile $3L/2$ arasında, y-koordinatlarının ise $3L/2 - L$ ile $3L/2$ arasında olduğu anlamına gelir.
  • $3L/2 - L = 3L/2 - 2L/2 = L/2$
  • Yani, kesilen parça $x \in [L/2, 3L/2]$ ve $y \in [L/2, 3L/2]$ aralığındadır.
  • Kesilen parçanın kütle merkezi, bu aralıkların orta noktasıdır:
    • $X_{kesilen} = \frac{L/2 + 3L/2}{2} = \frac{4L/2}{2} = \frac{2L}{2} = L$
    • $Y_{kesilen} = \frac{L/2 + 3L/2}{2} = \frac{4L/2}{2} = \frac{2L}{2} = L$
  • Dolayısıyla, kesilen parçanın kütle merkezi $(L, L)$ noktasıdır.
• Artık tüm değerleri kütle merkezi formülüne yerleştirebiliriz:
  • X koordinatı için:
    $X_{kalan} = \frac{(9\sigma L^2) \cdot (0) - (\sigma L^2) \cdot (L)}{8\sigma L^2}$
    $X_{kalan} = \frac{0 - \sigma L^3}{8\sigma L^2}$
    $X_{kalan} = \frac{-\sigma L^3}{8\sigma L^2} = -\frac{L}{8}$
  • Y koordinatı için:
    $Y_{kalan} = \frac{(9\sigma L^2) \cdot (0) - (\sigma L^2) \cdot (L)}{8\sigma L^2}$
    $Y_{kalan} = \frac{0 - \sigma L^3}{8\sigma L^2}$
    $Y_{kalan} = \frac{-\sigma L^3}{8\sigma L^2} = -\frac{L}{8}$
• Buna göre, kalan parçanın yeni kütle merkezinin koordinatları $(-L/8, -L/8)$ olur.

Cevap B seçeneğidir.