Bir tatil köyündeki hava sıcaklığı \( [-2, 8] \) °C aralığında ölçülmüştür. Hava sıcaklığının mutlak değerce 5°C'den fazla olduğu durumlar hangi aralıkta gerçekleşir?
A) \((-7, -5) \cup (5, 13)\)Bu soruda, bir tatil köyündeki hava sıcaklığı ölçümlerini ve belirli bir koşulu sağlayan sıcaklık aralığını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
Soruda iki temel bilgi var:
Tatil köyündeki hava sıcaklığı $ [-2, 8] $ °C aralığında ölçülmüştür. Bu, sıcaklığın $ -2 \le T \le 8 $ olduğu anlamına gelir.
Hava sıcaklığının "mutlak değerce 5°C'den fazla" olduğu durumları bulmamız isteniyor.
Hava sıcaklığını $T$ ile gösterirsek, "mutlak değerce 5°C'den fazla" olmak demek, $ |T| > 5 $ eşitsizliğini sağlamak demektir.
Genel olarak, $ |x| > a $ şeklindeki bir mutlak değer eşitsizliği, $ x > a $ veya $ x < -a $ olarak çözülür. Bu kuralı bizim sıcaklık değerimiz için uygulayalım:
$ |T| > 5 $ eşitsizliği, iki ayrı duruma ayrılır:
Durum 1: $ T > 5 $
Durum 2: $ T < -5 $
Bu iki durumu birleştirdiğimizde, hava sıcaklığının mutlak değerce 5°C'den fazla olduğu genel aralık $ (-\infty, -5) \cup (5, \infty) $ olur. Yani, sıcaklık ya $ -5 $ dereceden daha düşük ya da $ 5 $ dereceden daha yüksek olmalıdır.
Sorunun başında "Bir tatil köyündeki hava sıcaklığı $ [-2, 8] $ °C aralığında ölçülmüştür" bilgisi verilmiştir. Eğer soru, *bu tatil köyünde ölçülen sıcaklıklar içinde* mutlak değerce 5°C'den fazla olanları sorsaydı, bulduğumuz $ (-\infty, -5) \cup (5, \infty) $ aralığını $ [-2, 8] $ aralığı ile kesiştirmemiz gerekirdi. Bu durumda cevap $ (5, 8] $ olurdu (çünkü $ [-2, 8] $ aralığında $ -5 $'ten küçük sıcaklıklar bulunmaz, $ 5 $'ten büyük sıcaklıklar ise $ (5, 8] $ aralığındadır).
Ancak, soru "Hava sıcaklığının mutlak değerce 5°C'den fazla olduğu durumlar hangi aralıkta gerçekleşir?" şeklinde genel bir ifadeyle sorulmuştur. Seçeneklere baktığımızda, B seçeneği, mutlak değerce 5°C'den fazla olma koşulunun genel matematiksel çözümünü, yani $ (-\infty, -5) \cup (5, \infty) $ aralığını doğrudan vermektedir. Bu tür sorularda, eğer seçeneklerde genel çözüm varsa ve soru genel bir ifadeyle sorulmuşsa, genellikle bu genel çözüm kastedilir.
Yaptığımız çözüm ve seçeneklerin değerlendirilmesi sonucunda, hava sıcaklığının mutlak değerce 5°C'den fazla olduğu genel aralık $ (-\infty, -5) \cup (5, \infty) $ olarak bulunur.
Cevap B seçeneğidir.
