Bir üçgende açıortayların kesişim noktası olan iç teğet çemberin merkezi (içmerkez) için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?
A) Üçgenin kenarlarına eşit uzaklıktadır
B) Üçgenin köşelerine eşit uzaklıktadır
C) Sadece dar açılı üçgenlerde üçgenin içinde bulunur
D) Üçgenin çevresine eşit uzaklıktadır
Sevgili öğrenciler,
Bu soruda, bir üçgende açıortayların kesişim noktası olan iç teğet çemberin merkezi (içmerkez) hakkında doğru ifadeyi bulmamız isteniyor. Gelin bu önemli noktayı adım adım inceleyelim:
-
Açıortay Nedir?
Bir açıyı iki eşit parçaya bölen doğru parçasına açıortay denir. Açıortayın en temel ve önemli özelliklerinden biri şudur: Açıortay üzerindeki her nokta, açının kollarına (kenarlarına) eşit uzaklıktadır.
-
İçmerkez Nedir?
Bir üçgende, üç iç açının açıortayları tek bir noktada kesişir. Bu noktaya içmerkez denir. İçmerkez, aynı zamanda üçgenin içine çizilebilen ve üçgenin tüm kenarlarına teğet olan iç teğet çemberin merkezidir.
-
İçmerkezin Özelliği:
İçmerkez, üçgenin her bir açısının açıortayı üzerinde yer aldığı için, yukarıda bahsettiğimiz açıortay özelliğini taşır. Yani, içmerkez, üçgenin tüm kenarlarına (yani açılarının kollarına) eşit uzaklıktadır. Bu uzaklık, iç teğet çemberin yarıçapına ($r$) eşittir.
-
Şimdi seçenekleri inceleyelim:
-
A) Üçgenin kenarlarına eşit uzaklıktadır:
Bu ifade, içmerkezin temel tanımı ve özelliğidir. İçmerkez, üçgenin üç kenarına da eşit uzaklıktadır. Bu uzaklık, iç teğet çemberin yarıçapıdır. Bu seçenek doğrudur.
-
B) Üçgenin köşelerine eşit uzaklıktadır:
Üçgenin köşelerine eşit uzaklıkta olan nokta, üçgenin kenar orta dikmelerinin kesişim noktası olan çevrel çemberin merkezi (çevrel merkez)dir. Bu nokta, içmerkez değildir. Dolayısıyla bu seçenek yanlıştır.
-
C) Sadece dar açılı üçgenlerde üçgenin içinde bulunur:
İçmerkez, her zaman (dar açılı, dik açılı veya geniş açılı fark etmeksizin) üçgenin içinde bulunur. Bu ifade yanlıştır. (Çevrel merkez geniş açılı üçgenlerde üçgenin dışında bulunabilir, bu bir karıştırmacadır.)
-
D) Üçgenin çevresine eşit uzaklıktadır:
"Üçgenin çevresine" ifadesi geometrik olarak belirsizdir. İçmerkez, üçgenin kenarlarına eşit uzaklıktadır. Çevre bir uzunluktur, bir nokta kümesi değildir. Bu seçenek yanlıştır.
Bu bilgiler ışığında, içmerkezin en temel ve doğru tanımını veren seçeneğin A olduğunu görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
