Üçgende yükseklik, kenarortay, açıortay nedir? Test 1

ABC üçgeninde |AB| = 10 cm, |AC| = 15 cm ve A köşesinden çizilen açıortay [BC] kenarını D noktasında kesmektedir. |BD| = 4 cm olduğuna göre |DC| kaç cm'dir?

A) 5
B) 6
C) 8
D) 10

Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için üçgenlerdeki açıortay teoremini kullanacağız. Açıortay teoremi, bir üçgende bir köşeden çizilen açıortayın karşı kenarı kestiği noktada, kenarı ayırdığı parçaların oranının, açıortayın çıktığı köşenin diğer iki kenarının oranına eşit olduğunu söyler. Bu teorem, geometri problemlerinde sıkça karşımıza çıkar ve oldukça kullanışlıdır.

• Öncelikle, soruda verilen bilgileri bir kenara not edelim ve ne aradığımızı belirleyelim:

  Bize verilen kenar uzunlukları:

  $|AB| = 10$ cm

  $|AC| = 15$ cm

  A köşesinden çizilen açıortay, [BC] kenarını D noktasında kesiyor.

  Açıortayın ayırdığı parçalardan biri: $|BD| = 4$ cm

  Bizden istenen, açıortayın ayırdığı diğer parça olan $|DC|$ uzunluğudur.

• Şimdi Açıortay Teoremi'ni uygulayalım. Bu teorem bize şunu söyler: Bir üçgende, bir açının açıortayı karşı kenarı kestiğinde, karşı kenarın ayrılan parçalarının oranı, diğer iki kenarın oranına eşittir. Yani, ABC üçgeninde AD açıortay ise:

  $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|}$

• Verilen değerleri bu formülde yerine yazalım. $|DC|$ uzunluğunu bulmak istediğimiz için onu bilinmeyen olarak bırakacağız:

  $\frac{10}{15} = \frac{4}{|DC|}$

• Denklemi çözmek için içler dışlar çarpımı yapmadan önce sol taraftaki oranı sadeleştirebiliriz. Hem 10'u hem de 15'i 5'e bölelim:

  $\frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3}$

  Böylece denklemimiz daha basit bir hale gelir:

  $\frac{2}{3} = \frac{4}{|DC|}$

• Şimdi içler dışlar çarpımı yaparak denklemi çözelim:

  $2 \cdot |DC| = 3 \cdot 4$

  $2 \cdot |DC| = 12$

• Son adım olarak, $|DC|$ uzunluğunu bulmak için her iki tarafı 2'ye bölelim:

  $|DC| = \frac{12}{2}$

  $|DC| = 6$ cm

Böylece, Açıortay Teoremi'ni kullanarak $|DC|$ uzunluğunun 6 cm olduğunu bulmuş olduk.

Cevap B seçeneğidir.