Merkezi $O$ ve yarıçapı $R$ olan bir çember, çevresi üzerindeki bir $A$ noktası $O$ noktası üzerine gelecek şekilde katlanıyor. Oluşan katlama çizgisi $KL$ kirişidir. Bu $KL$ kirişinin uzunluğu kaç $R$'dir?
A) $R$
B) $R\sqrt{2}$
C) $R\sqrt{3}$
D) $2R$
E) $R/2$
Sevgili öğrenciler, bu problemde bir çemberin katlanmasıyla oluşan bir kirişin uzunluğunu bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- Öncelikle, çemberimizin merkezi $O$ ve yarıçapı $R$ olsun. Çemberin çevresi üzerinde bir $A$ noktası bulunmaktadır.
- Soruda belirtildiği gibi, $A$ noktası $O$ noktası üzerine gelecek şekilde çember katlanıyor. Bu katlama işlemi, $A$ ve $O$ noktaları arasındaki doğru parçasının dik orta noktasından geçen bir katlama çizgisi oluşturur. Bu katlama çizgisi aynı zamanda $KL$ kirişidir.
- $A$ noktası çember üzerinde olduğu için, $OA$ doğru parçasının uzunluğu çemberin yarıçapı $R$'dir.
- Katlama çizgisi $KL$, $OA$ doğru parçasının dik orta noktası olan $M$ noktasından geçer. Bu durumda, $OM$ doğru parçasının uzunluğu $OA$ uzunluğunun yarısıdır. Yani, $OM = \frac{R}{2}$ olur.
- Şimdi, $O$ noktasını $K$ noktasına birleştirelim. $OK$ doğru parçası da çemberin yarıçapı olduğu için uzunluğu $R$'dir.
- $OMK$ üçgenine dikkat edelim. Bu üçgen bir dik üçgendir, çünkü $KL$ kirişi $OA$ doğru parçasına diktir ve $M$ noktası $OA$ üzerindedir. Dolayısıyla, $OM \perp KM$'dir.
- Pisagor teoremini kullanarak $KM$ uzunluğunu bulabiliriz: $OK^2 = OM^2 + KM^2$.
- Değerleri yerine yazalım: $R^2 = \left(\frac{R}{2}\right)^2 + KM^2$.
- Denklemi çözelim: $R^2 = \frac{R^2}{4} + KM^2$.
- $KM^2 = R^2 - \frac{R^2}{4}$.
- $KM^2 = \frac{4R^2 - R^2}{4}$.
- $KM^2 = \frac{3R^2}{4}$.
- Her iki tarafın karekökünü alırsak: $KM = \sqrt{\frac{3R^2}{4}} = \frac{R\sqrt{3}}{2}$.
- $KL$ kirişi, $M$ noktasında iki eşit parçaya ayrılır. Yani, $KL = 2 \times KM$'dir.
- $KL = 2 \times \frac{R\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$.
Bu durumda, $KL$ kirişinin uzunluğu $R\sqrt{3}$'tür.
Cevap C seçeneğidir.
