Bir dikdörtgenin kenar uzunlukları $x$ birim ve $x+4$ birim olarak verilmiştir. Bu dikdörtgenin alanı $96$ birimkareden küçük veya eşit olduğuna göre, $x$ için kaç farklı tam sayı değeri olduğunu adım adım bulalım.
1. Adım: Dikdörtgenin Alanını İfade Etme
Bir dikdörtgenin alanı, kenar uzunluklarının çarpımına eşittir. Verilen kenar uzunlukları $x$ ve $x+4$ olduğuna göre, dikdörtgenin alanı $A$ şu şekilde ifade edilir:
$A = x \cdot (x+4)$
2. Adım: Alan Koşulunu Eşitsizlik Olarak Yazma
Soruda dikdörtgenin alanının $96$ birimkareden küçük veya eşit olduğu belirtilmiştir. Bu durumu matematiksel bir eşitsizlik olarak yazalım:
$x \cdot (x+4) \le 96$
3. Adım: Eşitsizliği Çözme
Şimdi bu eşitsizliği düzenleyelim ve $x$ değer aralığını bulalım:
$x^2 + 4x \le 96$
Eşitsizliğin bir tarafını sıfır yapalım:
$x^2 + 4x - 96 \le 0$
Bu ikinci dereceden eşitsizliği çözmek için önce $x^2 + 4x - 96 = 0$ denkleminin köklerini bulalım. Çarpımları $-96$ ve toplamları $4$ olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar $12$ ve $-8$'dir.
Yani denklemi çarpanlarına ayırırsak:
$(x+12)(x-8) = 0$
Denklemin kökleri $x_1 = -12$ ve $x_2 = 8$'dir.
Şimdi eşitsizliğin işaretini inceleyelim. $x^2 + 4x - 96$ ifadesi, kökler arasında (parabolün kolları yukarı doğru olduğu için) negatif veya sıfır değerler alır. Dolayısıyla eşitsizliğin çözümü:
$-12 \le x \le 8$
4. Adım: $x$ İçin Ek Koşulu Uygulama
Soruda $x$'in bir uzunluk belirttiği ve bu nedenle $x>0$ olması gerektiği belirtilmiştir. Bulduğumuz eşitsizlik aralığı ile bu koşulu birleştirelim:
$-12 \le x \le 8$ ve $x > 0$
Bu iki koşulu sağlayan $x$ değerleri aralığı:
$0 < x \le 8$
5. Adım: $x$'in Alabileceği Tam Sayı Değerlerini Bulma ve Sayma
$x$ bir tam sayı olmalı ve $0 < x \le 8$ aralığında bulunmalıdır. Bu aralıktaki tam sayılar şunlardır:
$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$
Bu değerlerin sayısı $8$'dir.
Cevap C seçeneğidir.
