10. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 5. senaryo Test 1

$A(1, -2)$ ve $B(7, 10)$ noktalarını birleştiren doğru parçasını içten $\frac{|AC|}{|CB|} = 2$ oranında bölen $C$ noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

A) $(3, 2)$

B) $(4, 4)$

C) $(5, 6)$

D) $(6, 8)$

E) $(7, 10)$

Bu soruda, iki nokta arasındaki bir doğru parçasını belirli bir oranda içten bölen noktanın koordinatlarını bulmamız isteniyor. Bu tür problemler, analitik geometrinin temel konularından biridir ve doğru parçasını içten bölme formülü kullanılarak kolayca çözülebilir.

Doğru Parçasını İçten Bölme Formülü:

Eğer bir $C(x_C, y_C)$ noktası, $A(x_A, y_A)$ ve $B(x_B, y_B)$ noktalarını birleştiren doğru parçasını içten $m:n$ oranında bölüyorsa, $C$ noktasının koordinatları aşağıdaki formüllerle bulunur:

• $x_C = \frac{n \cdot x_A + m \cdot x_B}{m+n}$
• $y_C = \frac{n \cdot y_A + m \cdot y_B}{m+n}$

Şimdi sorumuzdaki değerleri bu formüle adım adım uygulayalım:

• 1. Adım: Verilen noktaları ve oranı belirleyelim.

  Noktalarımız $A(x_A, y_A) = A(1, -2)$ ve $B(x_B, y_B) = B(7, 10)$'dur.

  Verilen oran $\frac{|AC|}{|CB|} = 2$'dir. Bu ifade, $C$ noktasının doğru parçasını $A$ noktasından $2$ birim, $B$ noktasından $1$ birim uzaklıkta böldüğü anlamına gelir. Yani, formüldeki $m$ ve $n$ değerlerini $m=2$ ve $n=1$ olarak alabiliriz.

• 2. Adım: $C$ noktasının x-koordinatını ($x_C$) hesaplayalım.

  Doğru parçasını içten bölme formülünü kullanarak $x_C$ değerini bulalım:

  $x_C = \frac{n \cdot x_A + m \cdot x_B}{m+n}$

  $x_C = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 7}{2+1}$

  $x_C = \frac{1 + 14}{3}$

  $x_C = \frac{15}{3}$

  $x_C = 5$

• 3. Adım: $C$ noktasının y-koordinatını ($y_C$) hesaplayalım.

  Şimdi de aynı formülü kullanarak $y_C$ değerini bulalım:

  $y_C = \frac{n \cdot y_A + m \cdot y_B}{m+n}$

  $y_C = \frac{1 \cdot (-2) + 2 \cdot 10}{2+1}$

  $y_C = \frac{-2 + 20}{3}$

  $y_C = \frac{18}{3}$

  $y_C = 6$

• 4. Adım: $C$ noktasının koordinatlarını yazalım.

  Hesaplamalarımız sonucunda $C$ noktasının koordinatları $(5, 6)$ olarak bulunmuştur.

Bu koordinatlar seçeneklere baktığımızda C seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap C seçeneğidir.