10. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 5. senaryo Test 1

Bir sınıfta $20$ öğrenci vardır. Bu öğrencilerden $12$'si matematik dersinden, $10$'u fizik dersinden geçmiştir. $5$ öğrenci her iki dersten de geçmiştir. Rastgele seçilen bir öğrencinin fizik dersinden geçtiği bilindiğine göre, bu öğrencinin matematik dersinden de geçmiş olma olasılığı kaçtır?

A) $\frac{1}{2}$

B) $\frac{3}{5}$

C) $\frac{5}{12}$

D) $\frac{5}{10}$

E) $\frac{2}{5}$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problemde, bir sınıftaki öğrencilerin ders geçme durumları hakkında bilgi verilmiş ve bizden koşullu bir olasılık hesaplamamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözelim.

• 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:
  • Sınıftaki toplam öğrenci sayısı: $20$
  • Matematik dersinden geçen öğrenci sayısı (M): $12$
  • Fizik dersinden geçen öğrenci sayısı (F): $10$
  • Hem matematik hem de fizik dersinden geçen öğrenci sayısı (M ve F): $5$
• 2. Soruyu Doğru Yorumlayalım:

  Bizden istenen, "Rastgele seçilen bir öğrencinin fizik dersinden geçtiği bilindiğine göre, bu öğrencinin matematik dersinden de geçmiş olma olasılığı"dır. Bu bir koşullu olasılık problemidir ve $P(\text{Matematik'ten geçti} | \text{Fizik'ten geçti})$ şeklinde ifade edilir. Yani, evrenimiz artık tüm sınıf değil, sadece fizik dersinden geçen öğrencilerdir.

• 3. Koşullu Olasılık Formülünü Hatırlayalım:

  Genel olarak, $B$ olayının gerçekleştiği bilindiğinde $A$ olayının gerçekleşme olasılığı $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ formülü ile bulunur. Öğrenci sayıları cinsinden ise bu formülü şu şekilde kullanabiliriz:

  $P(A|B) = \frac{\text{A ve B olaylarının birlikte gerçekleştiği durum sayısı}}{\text{B olayının gerçekleştiği durum sayısı}}$

• 4. Gerekli Sayıları Belirleyelim:
  • Fizik dersinden geçen öğrenci sayısı (B olayı): Bu, soruda doğrudan $10$ olarak verilmiştir.
  • Hem matematik hem de fizik dersinden geçen öğrenci sayısı (A ve B olaylarının birlikte gerçekleştiği durum): Bu da soruda doğrudan $5$ olarak verilmiştir.
• 5. Formülü Uygulayalım ve Hesaplayalım:

  Şimdi bulduğumuz sayıları formülde yerine koyalım:

  $P(\text{Matematik'ten geçti} | \text{Fizik'ten geçti}) = \frac{\text{Hem matematik hem de fizik dersinden geçen öğrenci sayısı}}{\text{Fizik dersinden geçen öğrenci sayısı}}$

  $P(\text{Matematik'ten geçti} | \text{Fizik'ten geçti}) = \frac{5}{10}$

  Bu kesri sadeleştirdiğimizde:

  $P(\text{Matematik'ten geçti} | \text{Fizik'ten geçti}) = \frac{1}{2}$

Buna göre, fizik dersinden geçtiği bilinen bir öğrencinin matematik dersinden de geçmiş olma olasılığı $\frac{1}{2}$'dir.

Cevap A seçeneğidir.