$A(1, 2)$ ve $B(x, y)$ noktaları veriliyor. $C(5, 8)$ noktası, $AB$ doğru parçasının orta noktası olduğuna göre, $B$ noktasının koordinatları nedir?
A) $(7, 14)$
B) $(8, 12)$
C) $(9, 10)$
D) $(10, 14)$
E) $(9, 14)$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir doğru parçasının orta noktası bilgisini kullanarak, doğru parçasının uç noktalarından birinin koordinatlarını bulacağız. Bu tür soruları çözmek için orta nokta formülünü iyi bilmemiz gerekiyor.
Adım 1: Orta nokta formülünü hatırlayalım ve verilenleri belirleyelim.
Bir $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ noktalarının orta noktası $C(x_c, y_c)$ ise, orta nokta koordinatları aşağıdaki formüllerle bulunur:
- $x_c = \frac{x_1 + x_2}{2}$
- $y_c = \frac{y_1 + y_2}{2}$
Şimdi soruda verilen bilgileri bu formülle eşleştirelim:
- $A$ noktasının koordinatları: $A(1, 2)$, yani $x_1 = 1$ ve $y_1 = 2$.
- $B$ noktasının koordinatları: $B(x, y)$, yani $x_2 = x$ ve $y_2 = y$. (Bizden istenen değerler bunlar.)
- $C$ noktasının koordinatları (orta nokta): $C(5, 8)$, yani $x_c = 5$ ve $y_c = 8$.
Adım 2: $x$-koordinatını bulmak için formülü uygulayalım.
$x$-koordinatları için orta nokta formülünü kullanarak $x$ değerini bulalım:
- $x_c = \frac{x_1 + x_2}{2}$
- Verilen değerleri yerine yazalım: $5 = \frac{1 + x}{2}$
- Denklemi çözmek için her iki tarafı $2$ ile çarpalım: $5 \times 2 = 1 + x$
- $10 = 1 + x$
- $x$ değerini yalnız bırakmak için $1$'i eşitliğin diğer tarafına atalım: $10 - 1 = x$
- Böylece $x = 9$ olarak bulunur.
Adım 3: $y$-koordinatını bulmak için formülü uygulayalım.
$y$-koordinatları için orta nokta formülünü kullanarak $y$ değerini bulalım:
- $y_c = \frac{y_1 + y_2}{2}$
- Verilen değerleri yerine yazalım: $8 = \frac{2 + y}{2}$
- Denklemi çözmek için her iki tarafı $2$ ile çarpalım: $8 \times 2 = 2 + y$
- $16 = 2 + y$
- $y$ değerini yalnız bırakmak için $2$'yi eşitliğin diğer tarafına atalım: $16 - 2 = y$
- Böylece $y = 14$ olarak bulunur.
Adım 4: $B$ noktasının koordinatlarını yazalım.
Bulduğumuz $x$ ve $y$ değerlerini birleştirerek $B$ noktasının koordinatlarını elde ederiz:
Bu koordinatlar seçenekler arasında E seçeneğinde bulunmaktadır.
Cevap E seçeneğidir.
