10. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 3. senaryo meb Test 3

$f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ fonksiyonunun grafiği ile ilgili aşağıdakilerden hangisi DOĞRUDUR?

A) $x=2$ noktasında düşey asimptotu vardır.

B) $y=x+2$ doğrusu ile çakışıktır.

C) Tanım kümesi $\mathbb{R}$'dir.

D) $x=2$ noktasında bir boşluk (delik) bulunur.

E) $y$-eksenini kestiği noktanın ordinatı $2$'dir.

• Verilen fonksiyon $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ şeklindedir. Bu tür rasyonel fonksiyonları incelerken ilk adım, pay ve paydayı çarpanlarına ayırarak sadeleştirmektir.
• Pay kısmındaki $x^2-4$ ifadesi iki kare farkıdır ve $(x-2)(x+2)$ şeklinde çarpanlarına ayrılabilir.
• Buna göre, fonksiyon $f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$ haline gelir.
• Bir rasyonel fonksiyonda paydanın sıfır olmaması gerekir. Bu nedenle, $x-2 \neq 0$ olmalıdır, yani $x \neq 2$. Bu, fonksiyonun tanım kümesinin tüm reel sayılar kümesinden $2$ noktasının çıkarılması gerektiği anlamına gelir. Tanım kümesi $\mathbb{R} \setminus \{2\}$'dir.
• $x \neq 2$ olduğu sürece, pay ve paydadaki $(x-2)$ terimlerini sadeleştirebiliriz. Bu durumda, $f(x) = x+2$ olur. Ancak bu sadeleştirme sadece $x \neq 2$ koşulu altında geçerlidir.
• Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
• A) $x=2$ noktasında düşey asimptotu vardır. Düşey asimptot, paydanın sıfır olduğu ancak payın sıfır olmadığı durumlarda veya sadeleştirmeden sonra paydada kalan bir terim nedeniyle fonksiyonun sonsuza gittiği durumlarda oluşur. Bizim fonksiyonumuzda $(x-2)$ terimi sadeleştiği için $x=2$ noktasında fonksiyonun limiti mevcuttur: $\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x+2) = 2+2 = 4$. Limit sonlu bir değer olduğu için $x=2$ noktasında düşey asimptot yoktur. Bu ifade yanlıştır.
• B) $y=x+2$ doğrusu ile çakışıktır. Fonksiyonumuz $x \neq 2$ için $y=x+2$ doğrusuna eşittir. Ancak $x=2$ noktasında $f(x)$ tanımlı değildir. $y=x+2$ doğrusu ise $x=2$ noktasında $y=4$ değerini alır ve bu noktada tanımlıdır. Dolayısıyla, $f(x)$ fonksiyonunun grafiği, $y=x+2$ doğrusunun $x=2$ noktasındaki $(2,4)$ noktası hariç tüm noktalarından oluşur. Bu nedenle fonksiyon $y=x+2$ doğrusu ile tamamen çakışık değildir. Bu ifade yanlıştır.
• C) Tanım kümesi $\mathbb{R}$'dir. Yukarıda belirttiğimiz gibi, paydanın sıfır olmaması gerektiğinden $x \neq 2$ olmalıdır. Bu yüzden tanım kümesi $\mathbb{R} \setminus \{2\}$'dir. Bu ifade yanlıştır.
• D) $x=2$ noktasında bir boşluk (delik) bulunur. Bir fonksiyonda pay ve paydada ortak bir çarpan sadeleştiğinde ve bu çarpanın kökünde fonksiyon tanımlı olmadığında, o noktada bir boşluk (delik veya kaldırılabilir süreksizlik) oluşur. Bizim fonksiyonumuzda $(x-2)$ çarpanı sadeleşmiş ve $x=2$ noktasında fonksiyon tanımlı değildir. Ancak $x=2$ noktasındaki limiti $4$'tür. Bu durum, grafikte $(2,4)$ noktasında bir boşluk olduğu anlamına gelir. Bu ifade doğrudur.
• E) $y$-eksenini kestiği noktanın ordinatı $2$'dir. $y$-eksenini kestiği noktayı bulmak için $x=0$ yazarız: $f(0) = \frac{0^2-4}{0-2} = \frac{-4}{-2} = 2$. Yani grafik $y$-eksenini $(0,2)$ noktasında keser ve ordinatı $2$'dir. Bu ifade matematiksel olarak doğrudur. Ancak, $y=x+2$ doğrusu da $y$-eksenini $(0,2)$ noktasında keser. Fonksiyonun grafiği ile ilgili en belirgin ve ayırt edici özellik, sadeleşme sonucu oluşan ve onu $y=x+2$ doğrusundan ayıran boşluktur. Bu nedenle, genellikle bu tür sorularda fonksiyonun özel bir karakteristiğini vurgulayan seçenek tercih edilir.
• Sonuç olarak, fonksiyonun en belirgin ve ayırt edici özelliği $x=2$ noktasında bir boşluğa sahip olmasıdır.

Cevap D seçeneğidir.