Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, köklü bir denklemi adım adım çözerek $x$ değerini bulacağız. Köklü denklemleri çözerken dikkat etmemiz gereken önemli noktalar var. Haydi başlayalım!
Denklemimiz $\sqrt{x+4} = x-2$.
Bir karekökün içindeki ifade negatif olamaz. Bu yüzden $x+4 \ge 0$ olmalıdır. Buradan $x \ge -4$ sonucunu elde ederiz.
Ayrıca, karekökün sonucu negatif olamaz. Bu nedenle denklemin sağ tarafı olan $x-2$ de negatif olamaz. Yani $x-2 \ge 0$ olmalıdır. Buradan $x \ge 2$ sonucunu elde ederiz.
Her iki koşulu birleştirdiğimizde, bulacağımız $x$ değeri $x \ge 2$ koşulunu sağlamalıdır. Bu, çözümümüzü kontrol etmek için çok önemlidir.
Denklemin her iki tarafının karesini alarak karekökten kurtulabiliriz:
$(\sqrt{x+4})^2 = (x-2)^2$
$x+4 = x^2 - 4x + 4$
Tüm terimleri denklemin bir tarafına toplayalım ve denklemi sıfıra eşitleyelim:
$0 = x^2 - 4x + 4 - x - 4$
$0 = x^2 - 5x$
Bu denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz. Ortak çarpan $x$'i dışarı alalım:
$x(x-5) = 0$
Bu denklemin iki olası çözümü vardır:
$x = 0$ veya $x-5 = 0 \implies x = 5$
Hatırlayalım, çözümümüz $x \ge 2$ koşulunu sağlamalıydı.
$0 \ge 2$ koşulunu sağlamaz. Ayrıca orijinal denklemde yerine koyarsak: $\sqrt{0+4} = 0-2 \implies \sqrt{4} = -2 \implies 2 = -2$. Bu ifade yanlıştır. Dolayısıyla $x=0$ bir çözüm değildir (bu tür çözümlere "sahte kök" veya "ekstren kök" denir).
$5 \ge 2$ koşulunu sağlar. Orijinal denklemde yerine koyarsak: $\sqrt{5+4} = 5-2 \implies \sqrt{9} = 3 \implies 3 = 3$. Bu ifade doğrudur. Dolayısıyla $x=5$ denklemi sağlayan geçerli bir çözümdür.
Denklemi sağlayan tek $x$ değeri $5$'tir.
Cevap D seçeneğidir.
