$A(-2, 5)$ ve $B(8, 0)$ noktalarını birleştiren $AB$ doğru parçasını $\frac{|AC|}{|CB|} = \frac{3}{2}$ oranında içten bölen $C$ noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) $(4, 2)$
B) $(3, 2)$
C) $(4, 3)$
D) $(3, 3)$
E) $(5, 2)$
Bu problemde, iki nokta arasındaki bir doğru parçasını belirli bir oranda içten bölen noktanın koordinatlarını bulmamız gerekiyor. Bu tür problemler için özel bir formül kullanırız. Adım adım ilerleyelim:
- Öncelikle verilen noktaları ve oranı belirleyelim:
- Birinci noktamız $A(x_1, y_1) = A(-2, 5)$.
- İkinci noktamız $B(x_2, y_2) = B(8, 0)$.
- Doğru parçasını bölen $C(x_C, y_C)$ noktasını arıyoruz.
- Verilen oran $\frac{|AC|}{|CB|} = \frac{3}{2}$ şeklindedir. Bu oranı $m:n$ olarak düşünebiliriz, yani $m=3$ ve $n=2$.
- İçten bölme formülünü hatırlayalım. Eğer bir $C(x_C, y_C)$ noktası, $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ noktalarını birleştiren doğru parçasını $\frac{|AC|}{|CB|} = \frac{m}{n}$ oranında içten bölüyorsa, $C$ noktasının koordinatları şu formüllerle bulunur:
- $x_C = \frac{n \cdot x_1 + m \cdot x_2}{m+n}$
- $y_C = \frac{n \cdot y_1 + m \cdot y_2}{m+n}$
- Şimdi bu formüllerde verilen değerleri yerine koyarak $x_C$ koordinatını hesaplayalım:
- $x_C = \frac{2 \cdot (-2) + 3 \cdot 8}{3+2}$
- $x_C = \frac{-4 + 24}{5}$
- $x_C = \frac{20}{5}$
- $x_C = 4$
- Benzer şekilde, $y_C$ koordinatını hesaplayalım:
- $y_C = \frac{2 \cdot 5 + 3 \cdot 0}{3+2}$
- $y_C = \frac{10 + 0}{5}$
- $y_C = \frac{10}{5}$
- $y_C = 2$
- Böylece, $C$ noktasının koordinatlarını $(4, 2)$ olarak bulmuş oluruz.
Cevap A seçeneğidir.
