Bu soruda, bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğetler ve merkez açısı arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyerek çözüme ulaşalım:
Öncelikle, soruda verilen bilgileri ve şekli gözümüzde canlandıralım. Bir $P$ noktasından çembere $PA$ ve $PB$ teğetleri çizilmiş. Çemberin merkezi $O$ ve teğet noktaları $A$ ve $B$. Bu durumda, $O$, $A$, $P$, $B$ noktalarını birleştirdiğimizde bir dörtgen oluştuğunu fark ederiz: $OAPB$ dörtgeni.
Çember geometrisinin temel kurallarından birini hatırlayalım: Bir çembere teğet olan doğru, teğet noktasından çizilen yarıçapa diktir.
Bu kurala göre, $OA$ yarıçapı $PA$ teğetine diktir. Yani, $m(\widehat{OAP}) = 90^\circ$.
Benzer şekilde, $OB$ yarıçapı $PB$ teğetine diktir. Yani, $m(\widehat{OBP}) = 90^\circ$.
Şimdi $OAPB$ dörtgeninin iç açılarına bakalım. Bir dörtgenin iç açılarının toplamı her zaman $360^\circ$'dir.
$OAPB$ dörtgeninin iç açıları $m(\widehat{APB})$, $m(\widehat{OAP})$, $m(\widehat{OBP})$ ve $m(\widehat{AOB})$'dir. Bu açılardan $m(\widehat{APB}) = 80^\circ$ (verilmiş), $m(\widehat{OAP}) = 90^\circ$ (bulduk) ve $m(\widehat{OBP}) = 90^\circ$ (bulduk). Aradığımız açı ise $m(\widehat{AOB})$'dir.
Bu açıların toplamını $360^\circ$'ye eşitleyelim:
$m(\widehat{APB}) + m(\widehat{OAP}) + m(\widehat{OBP}) + m(\widehat{AOB}) = 360^\circ$
Bilinen değerleri yerine yazalım:
$80^\circ + 90^\circ + 90^\circ + m(\widehat{AOB}) = 360^\circ$
Denklemi düzenleyelim:
$260^\circ + m(\widehat{AOB}) = 360^\circ$
$m(\widehat{AOB})$ açısını bulmak için $260^\circ$'yi eşitliğin diğer tarafına atalım:
$m(\widehat{AOB}) = 360^\circ - 260^\circ$
Sonuç olarak:
$m(\widehat{AOB}) = 100^\circ$
Bu durumda, $m(\widehat{AOB})$ açısı $100^\circ$'dir.
Cevap C seçeneğidir.
