Sevgili öğrenciler, bu problemde bir daire parçasının alanını bulmamız isteniyor. Daire parçasının alanı, ilgili daire diliminin alanından, bu dilimi oluşturan üçgenin alanının çıkarılmasıyla bulunur. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Problemi Anlayalım ve Gerekli Formülleri Hatırlayalım.
- Bizden istenen, yarıçapı $r = 4$ cm olan bir dairede, merkez açısı $\theta = 90^\circ$ olan bir kirişin oluşturduğu küçük daire parçasının (segmentin) alanıdır.
- Daire parçasının alanı, ilgili daire diliminin (sektörün) alanından, bu dilimi oluşturan yarıçaplar ve kirişin oluşturduğu üçgenin alanının çıkarılmasıyla bulunur.
- Daire diliminin alanı formülü: $A_{dilim} = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi r^2$
- Üçgenin alanı formülü: $A_{üçgen} = \frac{1}{2} \cdot \text{taban} \cdot \text{yükseklik}$. Merkez açı $90^\circ$ olduğu için, bu üçgen dik açılı bir üçgendir ve dik kenarları yarıçaplar ($r$) olacaktır. Dolayısıyla $A_{üçgen} = \frac{1}{2} r \cdot r = \frac{1}{2} r^2$.
- Adım 2: Daire Diliminin Alanını Hesaplayalım.
- Verilen değerleri formülde yerine koyalım: $r = 4$ cm ve $\theta = 90^\circ$.
- $A_{dilim} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \cdot \pi (4)^2$
- $A_{dilim} = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 16$
- $A_{dilim} = 4\pi$ cm$^2$.
- Adım 3: Üçgenin Alanını Hesaplayalım.
- Daire dilimini oluşturan iki yarıçap ve kiriş bir üçgen oluşturur. Merkez açı $90^\circ$ olduğu için bu üçgen, dik açılı bir ikizkenar üçgendir.
- Üçgenin dik kenarları dairenin yarıçaplarıdır, yani her biri $4$ cm'dir.
- Üçgenin alanını hesaplamak için formülü kullanalım:
- $A_{üçgen} = \frac{1}{2} \cdot \text{dik kenar 1} \cdot \text{dik kenar 2}$
- $A_{üçgen} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4$
- $A_{üçgen} = \frac{1}{2} \cdot 16$
- $A_{üçgen} = 8$ cm$^2$.
- Adım 4: Küçük Daire Parçasının Alanını Hesaplayalım.
- Küçük daire parçasının alanı, daire diliminin alanından üçgenin alanının çıkarılmasıyla bulunur:
- $A_{daire\ parçası} = A_{dilim} - A_{üçgen}$
- $A_{daire\ parçası} = 4\pi - 8$ cm$^2$.
Bu sonuç, verilen seçenekler arasında B seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
