O merkezli bir çemberde A, B, C noktaları çember üzerindedir. $\angle OAC = 40^\circ$ olduğuna göre, $\angle ABC$ kaç derecedir?
A) $50^\circ$
B) $60^\circ$
C) $70^\circ$
D) $80^\circ$
E) $90^\circ$
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu tür çember sorularında, çemberin temel özelliklerini ve açılar arasındaki ilişkileri bilmek çok önemlidir. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözebiliriz.
-
Çemberin Yarıçapları: Öncelikle, O merkezli bir çemberde A ve C noktaları çember üzerinde olduğuna göre, OA ve OC doğru parçaları çemberin yarıçaplarıdır. Bu da demektir ki, $OA = OC$ uzunluğundadır.
-
İkizkenar Üçgen Oluşumu: $OA = OC$ olduğu için, $\triangle OAC$ bir ikizkenar üçgendir. İkizkenar üçgenlerde, eşit kenarların karşısındaki açılar da birbirine eşittir.
-
$\triangle OAC$ İç Açıları: Bize $\angle OAC = 40^\circ$ olarak verilmiş. $\triangle OAC$ ikizkenar üçgen olduğundan, $\angle OCA$ açısı da $\angle OAC$ açısına eşit olacaktır. Yani, $\angle OCA = 40^\circ$.
-
Merkez Açıyı Bulma: Bir üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$'dir. $\triangle OAC$ üçgeninde, $\angle AOC$ merkez açısını bulmak için diğer iki açıyı $180^\circ$'den çıkarırız:
$\angle AOC = 180^\circ - (\angle OAC + \angle OCA)$
$\angle AOC = 180^\circ - (40^\circ + 40^\circ)$
$\angle AOC = 180^\circ - 80^\circ$
$\angle AOC = 100^\circ$
-
Merkez Açı ve Çevre Açı İlişkisi: Şimdi asıl sorulan $\angle ABC$ açısına gelelim. $\angle ABC$ bir çevre açıdır (köşesi çember üzerinde olan açı). Bu açı, AC yayını görmektedir. Bulduğumuz $\angle AOC$ açısı ise, aynı AC yayını gören bir merkez açıdır (köşesi çemberin merkezinde olan açı).
-
Çevre Açının Hesaplanması: Çemberde, aynı yayı gören çevre açı, merkez açının yarısına eşittir. Bu kurala göre:
$\angle ABC = \frac{1}{2} \times \angle AOC$
$\angle ABC = \frac{1}{2} \times 100^\circ$
$\angle ABC = 50^\circ$
Bu adımları takip ederek $\angle ABC$ açısının $50^\circ$ olduğunu bulduk.
Cevap A seçeneğidir.
